Sur l'homéomorphie des variétés à deux dimensions. Première partie. (Q1458106)

Die Arbeit ist im wesentlichen der 1. Teil der Warschauer Thèse des Verf. von 1922. -- Verf. bezeichnet eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit \(M\) als ``compactifiable'', wenn sie sich auf ein Teilgebiet einer kompakten (also ``geschlossenen'') 2-dimensionalen Mannigfaltigkeit topologisch abbilden läßt. Das Ziel der Arbeit ist, eine derartige 2-dimensionale Mannigfaltigkeit durch topologische Invarianten vollständig zu charakterisieren, also die Verallgemeinerung der für kompakte Mannigfaltigkeiten längst bekannten Resultate zu erzielen. -- Es sei aber hervorgehoben, daß\ diese Frage, sogar weit darüber hinaus für die allgemeinsten offenen 2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten bereits von Kerékjártó [Jahresb. D. Math.-Ver. 31 (1922), 98-99. Vorlesungen über Topologie I (1923), Kap; III, \S\,4 u. V, \S\,1] erledigt worden ist. Verf. zeigt zunächst: Eine \(n\)-fach berandete [bzw. unberandete] schlichtartige Fläche ist homöomorph zu einem \(n\)-fach berandeten ebenen Gebiet [bzw. Kugelfläche], aus dem eine geeignete abgeschlossene lineare Punktmenge weggenommen ist. Ferner: Eine Fläche \(T\) ist dann und nur dann ``kompaktifiabel'', wenn auf ihr eine kompakte Menge existiert, deren Komplementärmenge bzgl. \(T\) eine schlichtartiges Gebiet ist. Und wenn \(T\) kompaktifiabel ist, so ist \(T\) homöomorph zu einer kompakten Fläche \(S\), aus der eine abgeschlossene, punkthafte (lineare) Punktmenge \(P\) herausgenommen ist. Man kann nun das kompaktifiable \(T\) charakterisieren durch den topologischen Typus von \(S\) und \(P\). Um dieses Resultat zu erzielen, wird noch gezeigt: Es seien \(P\) und \(P^*\) 2 punkthafte, kompakte Mengen, die in 2 homöomorphen Flächen \(T\) und \(T^*\) enthalten sind (ohne mit deren Rändern Punkte gemeinsam zu haben). Sind \(P\) und \(P^*\) homöomorph, so läßt sich die topologische Abbildung zwischen \(P\) und \(P^*\) auf \(T\) und \(T^*\) ausdehnen. Und umgekehrt: Wenn \(T\) und \(T^*\) kompakt, ferner \(T - P\) und \(T^*-P^*\) homöomorph sind, so läßt sich diese Homöomorphie auf ganz \(T\) und \(T^*\) ausdehnen.