Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes. (Q1458107)

Die inhaltsreiche Arbeit ist der Untersuchung der allgemeinen Zerlegungsgleichheit gewidmet; sie knüpft wesentlich an die früheren, das ``Inhaltsproblem'' betreffenden Überlegungen von \textit{F. Hausdorff} [Grundzüge der Mengenlehre, 401 u. 469/72 (1914; 45.0123.01); Math. Ann. 75, 428--433 (1914; JFM 45.0128.05] und \textit{S. Banach} [Fundam. Math. 4, 7--33 (1923; JFM 49.0145.03)] an und natürlich spielt das Auswahlaxiom dabei eine wichtige Rolle. Zwei Punktmengen mögen endlich-zerlegungsgleich (bzw. abzählbar-zerlegungsgleich) genannt werden, wenn beide in die gleiche endliche (bzw. abzählbare) Anzahl von elementenfremden Teilmengen zerlegt werden können, wobei je 2 einander entsprechende Teile kongruent sind. Zunächst werden weitgehend die allgemeinen Eigenschaften dieser Zerlegungsgleicheit untersucht (teilweise in allg. metrischen Räumen); und dann werden die folgenden grundlegenden und z. T. paradoxen Sätze gewonnen: In einem euklidischen Raum von \(n \ge 3\) Dimensionen sind 2 beliebige, beschränkte Mengen, die innere Punkte enthalten, endlich-zerlegungsgleich. Ebenso sind auf einer (2-dimensionalen) Kugelfläche 2 beliebige, innere Punkte enthaltende Mengen endlich-zerlegungsgleich. Dagegen gilt etwas Entsprechendes nicht mehr für den 1- oder 2-dimensionalen euklidischen Raum. Z. B. sind 2 Polygone der Ebene dann und nur dann endlich- zerlegungsgleich, wenn sie gleichen Flächeninhalt haben. Aber es gilt allgemein: In irgend einem euklidischen Raum (von \(n \ge 1\) Dimensionen) sind 2 beliebige (beschränkte oder nichtbeschränkte) Mengen, welche innere Punkte enthalten, stets abzählbar-zerlegungsgleich. Ein noch allgemeineres Resultat läßt sich erzielen durch Einführung des folgenden Begriffs: 2 Punktmengen heißen \glqq fast abzählbar-zerlegungsgleich\grqq{}, wenn sie nach Abspaltung je einer (Lebesgueschen) Nullmenge abzählbar-zerlegungsgleich sind. In irgendeinem euklidischen Raume sind 2 beliebige Mengen, deren inneres Lebesguesches Maß positiv ist, fast abzählbarzerlegungsgleich. Hervorzuheben ist noch, daß\ die hier betrachteten Zerlegungen i. a. nichtmeßbare Mengen liefern. 2 Mengen (eines beliebigen euklidischen Raums) sind dann und nur dann fast abzählbar-zerlegungsgleich mittels lauter meßbarer Teilmengen, wenn beide Mengen gleiches (Lebesguesches) Maß besitzen.