Kombinantenkegelschnitte von Kegelschnittbüscheln. (Q1458227)

Der zu den beiden äquiharmonischen Kegelschnitten \(K_1, K_2\) eines Kegelschnittbüschels \(B\) harmonische (v. Staudtsche) Kegelschnitt \(K\) ist nach Gundelfinger (F. d. M. 7, 417 (JFM 07.0417.*), 1875) eine Kombinante von \(B\). Wie Mertens angegeben hat (F. d. M. 17, 94 (JFM 17.0094.*), 1885), schneiden sich die zu irgend zwei Kegelschnitten von \(B\) gehörigen beiden harmonischen Kegelschnitte in Punkten, die \(K\) angehören. Durch Anwendung der ``Faltprodukte'' findet der Verfasser allgemeiner einen zu zwei Büscheln \(B, B'\) gehörigen Kombinantenkegelschnitt, der in den obigen übergeht, sobald \(B\) und \(B'\) zusammenfallen. Allgemeiner gibt es zu je zwei Büscheln von Kurven gleicher gerader Ordnung eine Kombinantenkurve derselben Ordnung. Übrigens ergeben sich die Eigenschaften des Kombinantenkegelschnitts \(K\), ohne von einer speziellen Darstellungsform des Büschels oder seiner Kurven Gebrauch zu machen. Einiges über die verwendeten Symbole werde vorausgeschickt. Sind \(A, B, C, D\) Strahlgrößen zweiten Grades in der Ebene, so bilde man aus Faltprodukten das Symbol: \[ (1)\quad <AB \cdot CD>=\{AC \cdot BD\}-\{AD \cdot BC\}. \] Dieses stellt wieder eine Strahlgröße zweiten Grades \(K\) dar; ihre zugehörige Kurve zweiter Ordnung \(\{Kx^2\}=0\) geht durch die Schnittpunkte der zu den beiden rechts stehenden Strahlengrößen gehörigen Kurven zweiter Ordnung. Innerhalb des Symbols (1) lassen sich die beiden Produkte \(AB\) und \(CD\) vertauschen; dagegen ändert (1) sein Vorzeichen, wenn man \(A\) mit \(B\), oder \(C\) mit \(D\) vertauscht. Ferner gilt für jede der vier Größen \(A, B, C, D\) das distributive Gesetz. Sind \(A', B'\) zwei aus \(A, B\) und entsprechend \(C', D'\) zwei aus \(C, D\) linear abgeleitete Größen, so ändert sich der Ausdruck \(\langle \frac{AB \cdot CD}{[AB][CD]}\rangle\) nicht, wenn man die \(A, B, C, D\) durch die akzentuierten Größen ersetzt. Somit ist (1) eine Invariante, oder genauer eine Kombinante der beiden \(c_2\)-Büschel \((AB)\) und \((CD)\). Da aber \(\{AB\}\) den harmonischen Kegelschnitt von \(A\) und \(B\) darstellt, so ergibt sich: Sind (in der Ebene) zwei \(c_2\)-Büschel gegeben, und greift man aus dem einen ein Paar \(A, B\), aus dem anderen ein Paar \(C, D\) beliebig heraus, sucht dann die harmonischen \(c_2\): \(\{AC\}\) und \(\{BD\}, \{AD\}\) und \(\{BC\}\), ferner die harmonischen \(\{AC \cdot BD\}\) und \(\{AD \cdot BC\}\) beider Paare, so gehören die Schnittpunkte der beiden letzten \(c_2\) einem \textit{festen} Kegelschnitte \(K=\langle AB \cdot CD \rangle\) an. Der Satz gilt auch, wenn die beiden Büschel eine \(c_2\) gemein haben oder identisch sind. Ferner gilt die Identität: \[ (2)\quad \langle AB \cdot CD \rangle+\langle BC \cdot AD \rangle+\langle CA \cdot BD \rangle=0. \] Das liefert den Satz: Sind vier \(c_2\) gegeben, so gehören sie drei Paaren von Büscheln an; zu jedem solchen Paar gehört ein \(K\), und diese drei \(K\) liegen in einem Büschel. Nunmehr werden für den \(K\) \textit{eines} Büschels Eigenschaften abgeleitet, ohne von einer speziellen Darstellung des Büschels oder seiner \(c_2\) auszugehen. Der \(K=\langle AB \cdot CD \rangle=\{A^2 B^2\}-\{AB \cdot AB\}\) ist noch anderer Darstellungen fähig. Zieht man noch eine Reihe weiterer formaler Hülfssätze hinzu, so lassen sich auch \(\{K2\}\) und \(\{K3\}\) berechnen. Dies liefert die Hilfsmittel, um die verschiedenen Sonderfälle für den Kombinantenkegelschnitt zu untersuchen. Dazu bedarf man noch des Begriffes von zwei doppeltapolaren Kegelschnitten \(P, Q\), die sich geometrisch einfach dadurch charakterisieren lassen, daß\ ihre beiden harmonischen Kegelschnitte zusammenfallen. Dann ist der harmonische Kegelschnitt von \(P\) und \(Q\) selbst wieder doppeltapolar zu \(P\) und \(Q\). In einem Büschel \((AB)\) gibt es zwei zueinander doppeltapolare Individuen; es wird gezeigt, wie man sie finden kann. Endlich benötigt man noch des Hülfssatzes: Besteht zwischen drei Größen \(p, q, r\) eines Grundgebildes zweiter Stufe die Beziehung \(p+q+r=0\), so stellt \(p^2+q^2+r^2\) das Paar von Größen dar, die mit \(p, q, r\) äquianharmonische Dreiecke bilden. Von den Sonderfällen des Kombinantenkegelschnittes \(K\) eines \(c_2\)-Büschels seien folgende erwähnt: \(\alpha\)) \(K\) verschwindet dann und nur dann, wenn das Büschel aus sich hyperoskulierenden \(c_2\) oder aus den Strahlenpaaren einer quadratischen Involution besteht; \(\beta\)) \(K\) artet in eine Doppelgerade dann und nur dann aus, wenn das Büschel aus sich doppeltberührenden oder oskulierenden \(c_2\) besteht oder endlich aus den Geradenpaaren, die ein fester Strahl mit den Strahlen eines Büschels bildet; \(\gamma\)) \(K\) wird dann und nur dann ein Geradenpaar, wenn das Büschel aus sich berührenden \(c_2\) besteht. Es wäre manchem Leser wohl erwünscht gewesen, wenn der Verf., wenigstens anhangsweise, neben seine Grassmannschen Symbolbildungen auch die der üblichen Invariantensymbolik gestellt hätte, schon, um eine leichtere Vergleichung zu ermöglichen.