Sur une propriété des domaines concaves. (Q1458449)

Ist in der Ebene ein Kreis \(K\) vom beliebigem Radius um einen Mittelpunkt \(P\) gegeben, so heiße die Gesamtheit aller inneren und Grenzpunkte eines Halbkreises von \(K\), nach Ausschluß\ von \(P\) selbst, eine Halbkreisumgebung von \(P\). Sei \(D\) ein offenes, zusammenhängendes Gebiet der Ebene; es heiße konkav, wenn zwei Punkte \(A, B\) dieses Gebietet existieren, deren Verbindungsstrecke einen Grenzpunkt von \(D\) trifft. Ferner möge ein Grenzpunkt \(P\) von \(D\) ein Konkavitätspunkt genannt werden, wenn eine Halbkreisumgebung von \(P\) existiert, deren Punkte ausnahmslos zu \(D\) gehören. Es wird der folgende, durch die Anschauung nahegelegte Satz bewiesen: Jedes konkave (offene, zusammenhängende) ebene Gebiet \(D\) besitzt mindestens einen Konkavitätspunkt. In höheren Dimensionen \((n>2)\) gilt übrigens ein analoger Satz durchaus nicht.