Über die Geometrie der halbsymmetrischen Übertragungen. (Q1458492)

Eine lineare Übertragung in einer \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit \(X_n\): \[ \delta v^\nu=dv^\nu +\Gamma_{\lambda \mu}^\nu v^\lambda dx^\mu,\;[\delta w_\lambda=dw_\lambda - \Gamma_{\lambda \mu}^{^\prime\nu} w_\nu dx^\mu] \] heißt kontravariant [kovariant] halbsymmetrisch, wenn \[ \Gamma_{\lambda \mu}^\nu - \Gamma_{\mu \lambda}^\nu = S_\lambda A_\lambda^\nu - S_\mu A_\lambda^\nu,\;[\Gamma_{\lambda \mu}^{'\nu} - \Gamma_{\mu \lambda}^{\prime\nu} = S_\lambda' A_\mu^\nu - S_\mu' A_\lambda^\nu], \] wo \(S_\lambda, S_\lambda'\) willkürliche kovariante Vektoren sind und \(A_\mu^\nu\) der Einheitsaffinor \((A_\mu^\nu=0,\mu \neq \nu;=1,\mu=\nu)\). Gilt beides, so heißt die Übertragung halbsymmetrisch schlechthin. Wird in der \(X_n\) ein kontravarianter Vektor \(v^\nu\) im Punkte \(P\) momentan in der eigenen Richtung pseudoparallel, d. h. gemäß\ \(\delta v^\nu = 0\), verschoben, so entsteht ein Element einer Linie, die in \(P\) kontravariant geodätisch ist, und bei Fortsetzung dieses Verfahrens eine kontravariant geodätische Linie. Entsprechend wird eine in \(P\) oder schlechthin kovariant geodätische Linie vermöge eines kovarianten \((n-1)\)-Vektors definiert. Die Autoren leiten die kennzeichnende Bedingung für das Zusammenfallen beider Arten von geodätischen Linien ab. Eine \(X_p(p>1)\) in \(X_n\) heißt in einem ihrer Punkte \(P\) kontravariant [kovariant] geodätisch, wenn das Differential des tangierenden kontravarianten \(p\)-Vektors [kovarianten \((n-p)\)-Vektors] für jede in der \(X_p\) liegende Verrückung in \(P\) die \(p\)-Richtung dieses tangierenden \(p\)-Vektors [\((n-p)\)-Vektors] hat. Jede \(X_p\) \((p>1)\) in \(X_n\), deren Kurven durch einen Punkt \(P\) dort sämtlich kontravariant [kovariant] geodätisch sind, ist dann und nur dann selbst in diesem Punkte kontravariant [kovariant] geodätisch, wenn die Übertragung der \(X_n\) kontravariant [kovariant] halbsymmetrisch ist. Schließlich wird noch die geodätisch einheitliche Übertragung studiert, d. h. jene bei der erstens kontravariant und koveriant geodätische Linien identisch sind und zweitens jede aus Linien, die in \(P\) geodätisch sind, aufgebaute \(X_p\) gleichfalls in \(P\) geodätisch ist. Zu einer besonderen derartigen Übertragung hat eine von J. A. Schouten (Amst. Ak. Versl. 32, 842 (1923); F. d. M. 49, 656 (JFM 49.0656.*)) herrührende Verallgemeinerung der Einsteinschen affinen Feldtheorie geführt.