Trajectories of small horizontal velocity in a resisting medium. (Q1458588)

Das Medium wird zuerst als homogen, die Widerstandsfunktion genau gleich \(\mu V^2\) vorausgesetzt (\(\mu=\text{konst.}\), \(V=\) Geschwindigkeit); die Bewegung wird vom Scheitel aus gererechnet, wo die (horizontale) Geschwindigkeit \(=U\) sei. Die allgemeine numerische Durchführung des Problems erfordert Tafeln für zwei Argumente; eine bedeutende Erleichterung tritt ein, wenn \(a=\mu U^2/g\) klein ist, man kommt dann nämlich bereits mit Tafeln für ein einziges Argument aus; es wird nicht verlangt, daß\ \(\mu\) selbst, oder auch \(\mu y\), klein sei: die Formeln gelten auch für beliebig große \(\mu y\). Am bequemsten erscheint es, alle übrigen Bestimmungsgrößen \((x,t,u,v)\) als Funktionen von \(y\) anzugeben; die Rechnung wird mit jeweiliger Fehlerabschätzung im Großen -- also nicht bloß\ stückweise durchgeführt. Als Ausgangspunkt werden dabei die an sich bekannten folgenden Formeln genommen: \[ \begin{aligned} gx&=\int_0^\theta u^2 dtg \theta;\;\int_0^\theta u^2 tg \theta dtg \theta;\\ gt&=\int_0^\theta u dtg \theta;\quad \frac{U^2}{u^2}=1+a(tg^2 \theta+\varphi);\end{aligned} \] \[ \varphi=2 \int_0^\theta (\text{sec}\theta - tg \theta)dtg \theta. \] Zuletzt wird auch der Fall eines inhomogenen Mediums mit der praktisch allein wichtigen Dichte \(e^{\lambda y}\) betrachtet; besonders für kleine \(\lambda\) können wieder gute Approximationen im Großen gegeben werden.