Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes. (Q1458712)

Es wird die Frage behandelt, ob die Einsteinschen kosmologischen Feldgleichungen eine Lösung mit konstanter negativer räumlicher Krümmung zulassen können [wenn dabei vom Verhalten im ``Unendlichen'' (bzw. von der Struktur des Raumes im Großen) abgesehen wird]. Der Ansatz \[ d \tau^2=-\left( \frac{R}{cx_3} \right)^2 (dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2) +M^2dx_4^2, \] wobei die zu \(-R^{-2}\) proportionale räumliche Krümmung von den räumlichen Koordinaten \(x_i\) unabhängig sein soll, ergibt zunächst die notwendige Bedingung \[ \frac{dR}{dx_4} \frac{\partial M}{\partial x_i}=0 \;(i=1,2,3), \] welche gewiß\ erfüllt ist, falls \(R\) auch von \(x_4\) oder falls \(M\) von den \(x_i\) unabhängig ausfällt. Es wird sodann die Diskussion der übrigen Bedingungen in diesen beiden Fällen skizziert. Es ergibt sich daraus, daß\ die Antwort auf die obige Frage in den beiden Fällen bejahend ausfällt, und daß\ eine positive Dichte der Materie bei dem ersten Falle nicht zulässig ist, wohl aber bei dem zweiten. -- Da der Ansatz zum Ziele führt, gelangt Verf. zum Ergebnis, daß\ die kosmologischen Feldgleichungen ``ohne ergänzende Annahme noch nicht hinreichen, um einen Schluß\ über die Endlichkeit unserer Welt zu ziehen''. [Diese Bemerkung enthält nichts neues, man setze nur die kosmologische Konstante \(\lambda=0\); allerdings ist nicht bekannt, ob in diesem absorptionslosen Falle eine Lösung mit \textit{gleichverteilter} Materie (von positiver Dichte) existiert.]