über die Konvergenz der Reihen in der Störungstheorie. (Q1458824)

Es werden folgende Sätze bewiesen I. Die Menge der Konvergenzstellen der Reihe \[ (1)\quad \sum_{\tau_1, \dots, \tau_f=-\infty}^{+\infty}{}' \left|\frac{A_{\tau_1, \dots \tau_f}}{\tau_1 \nu_1+\cdots+\tau_f \nu_f}\right| \] liegt im \(f\)-dimensionalen Raume \(R_f\) der \(\nu_1, \dots \nu_f\) überall dicht, wenn \[ \sum_{\tau_1, \dots \tau_f}| A_{\tau_1, \dots \tau_f}|(|\tau_1|+\cdots+|\tau_f|)^{f-1} \] konvergiert. II. Die Menge \({\mathfrak D}\) der Divergenzstellen von (1) liegt dicht in \(R_f\) bei jedem beliebigen Koeffizientensystem \(A_{\tau_1, \dots \tau_f}\). III. Die Menge \({\mathfrak D}\) ist vom Maße 0, wenn die Reihen \[ \sum{}''| A_{\tau_1, \dots \tau_f}|(|\tau_1|+\cdots+| \tau_f|)^{2f-1}\;\text{und}\;\sum_{\tau_1=-\infty}^{- \infty}{}' \left|\frac{A_{\tau_1, 0, \dots 0}}{\tau_1}\right| \] beide konvergieren. Der Strich am Summenzeichen weist auf die Auslassung des Systems \((\tau_1, \dots, \tau_f)=(0, \dots 0)\), der Doppelstrich auf die Auslassung von \((\tau_2, \dots, \tau_f)=(0, \dots 0) hin.)\) Der Beweis von I wird erbracht, indem \(\nu_1, \dots \nu_f\) als linear unabhängige reelle algebraische Zahlen eines Körpers \(f\)-ten Grades gewählt werden. Satz II, den Petersson übrigens noch umfassender als oben angegeben ausspricht, wird durch Konstruktion passender \(r\) mittelst Kettenbrüchen bewiesen. Für Satz III liefert die Lebesguesche Maßtheorie mit einfachen Überdeckungsbetrachtungen den Beweis.