Stationäre Geschwindigkeitsverteilung im Sternsystem. (Q1458829)

Schwarzschild stellt sich in diesem posthumen Aufsatz die Frage, wie die Anfangsgeschwindigkeiten der punktförmigen Sterne eines ``homogenen'' Ellipsoidhaufens beschaffen sein müssen, wenn die räumliche ``Gleichverteiltheit'' infolge der Gravitation dauernd erhalten bleibt. Eine (das Maxwellsche Verteilungsgesetz heranziehende) überschlägige Rechnung zeigt, daß\ dabei die irregulären Kräfte, welche durch die einander zufällig sehr nähernden Sterne bedingt werden, praktisch belanglos sind, so daß\ man die diskreten Massen durch eine kontinuierliche Dichteverteilung ersetzen darf Die zum Ellipsoid potential \(- \frac 12(A_1^2x_1^2 + A_2^2x_2^2 + A_3^2x_3^2)\) gehörige Bewegung \(\ddot{x}_i=-A_i^2x_i\) eines freien Massenpunktes ist -- falls die von den Halbachsen \(a_i\) abhängigen elliptischen Integrale \(A_i\) untereinander inkommensurabel ausfallen -- wegen \(x_i=\alpha_i \sin \vartheta_i; \vartheta_i=A_it+k_i\) derart daß\ die Bahnkurve im \(\vartheta\)-Raume einen Würfel von der Kantenlänge \(2\pi\) asymptotisch \((t \to+\infty)\) gleichmäßig ausfüllt. Im \(x\)-Raume wird also das Bild des Würfels nämlich der Quader \(| x_i|<|\alpha_i|\), asymptotisch nicht gleichmäßig, sondern mit der Dichte \(\Delta=[(\alpha_1^2- x_1^2)(\alpha_2^2-x_2^2)(\alpha_3^2-x_3^2)]^{-\frac 12}\) ausgefüllt, wegen \(d \vartheta_1 d \vartheta_2 d \vartheta_3 = \Delta dx_1 dx_2 dx_3\). Schwarzschild setzt darum die Abelsche Integralgleichung \(\varrho = \int \Delta \varphi d \alpha_1d \alpha_2 d \alpha_3\) mit dem Integrationsgebiet \(\alpha_i^2\geqq x_i^2\) an, wobei \(\varrho=\varrho(x_1, x_2, x_3)\) die Dichte des Haufens und \(\varphi(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)d \alpha_1 d \alpha_2 d \alpha_3\) die Anzahl derjenigen Sterne bezeichnet deren \(i\)-te Amplitude zwischen \(\alpha_i\) und \(\alpha_i+d \alpha_i\) liegt; er findet nach einer Umformung der Abelschen Auflösungsformel \[ \varphi(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)=\frac{32 \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3}{\pi^2 a_1 a_2 a_3} \left[1-\sum_1^3 \left(\frac{\alpha_i}{a_i}\right)^2 \right]^{-\frac 32}; \] \((\varrho \equiv\)const.=1). Dies ist die Lösung der gestellten Aufgabe unter den angenommenen Voraussetzungen. Führt man an Stelle der Amplituden \(\alpha_i\) die Geschwindigkeitskomponenten \(u_i=A_i \sqrt{\alpha_i^2-x_i^2}\) ein, so folgt daraus u. a., daß\ zwei Geschwindigkeiten dann und nur dann gleich häufig sind, falls sie auf derselben Ellipsoidfläche \(\sum_1^3 \frac{u_i^2}{a_i^2 A_i^2}\)=const. liegen. Es wird schließlich die Lösung näher diskutiert und mit den Ergebnissen von anderen verglichen.