A propos d'un mémoire de M. Pólya. (Q1458861)

Es sei \(f(z)\) eine ganze Funktion, \(M(r)\) das Maximum von \(| f(z)|\) für \(| z|=r, U(r)=\log M(r), n(r)\) die Anzahl der Nullstellen von \(f(z)\) für \(| z|\leqq r, \varrho\) die Ordnung der Funktion, \(p\) das Geschlecht, \(m_p(u)\) der Logarithmus des Maximums von \((1-z)e^{\frac {z 1}+\cdots+\frac{zp}{p}}\) für \(| z|=u\). Nach Pólya (Math. Ann. 88, 169ff.) gilt für \(r \to \infty\): \[ \begin{aligned} (I)\quad &\underline {\lim}\frac{n(r)}{U(r)}=\varrho,\\ (II)\quad &\overline {\lim}\frac{n(r)}{U(r)} \leqq \varphi(\varrho),\\ (III)\quad \frac{\pi}{\sin \pi \varrho}&\leqq \varphi (\varrho) \leqq \varrho \int_0^\infty m_p(u)u^{-p-1}du.\end{aligned} \] Verf. macht darauf aufmerksam, daß\ (II) direkt aus Sätzen seiner Thèse (Ann. de Toulouse 1913, 117 ff.) folgt; ferner müßte in (III) vor dem letzten Glied das strenge Gleichheitszeichen stehen; in (I) muß\ \(\varrho\) als nicht ganzzahlig vorausgesetzt werden. Es wird noch gezeigt, daß\ die (I) enthaltende Beziehung \[ (I)' \quad \underline{\lim} \frac{n(r)}{U(r)}\frac{\log r} {\log U(r)}\leqq 1 \] aus der bekannten Jensenschen Formel abgeleitet werden kann.