Sur les formules d'interpolation de Stirling et de Newton. (Suite.) (Q1458879)

Im ersten Teile dieser Arbeit, welcher im vorangehenden Bande der Ann. Éc. Norm., S. 343-403 steht (F. d. M. 48, 382 (JFM 48.0382.*)), hatte Nörlund für die Stirlingsche Reihe und für die Newtonsche Reihe \[ (1)\quad \Phi(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n \frac{(x-1)(x- 2)\cdots (x-n)}{n!}=\sum_{n=0}^\infty a_n {x-1 \choose n}\;(x=\sigma+i \tau) \] durch Abschätzung komplexer Integrale hinreichende Konvergenz- und Entwickelbarkeitsbedingungen gewonnen. Für die Newtonsche Reihe lauten sie: Es sei \(\Phi(x)\) regulär in der Halbebene \(\sigma \geqq \alpha\) und \[ (2) \quad |\Phi(\alpha+re^{iv})|<e^{r \psi(v)} (1+r)^{\beta+\varepsilon(r)}\;\text{für}\;| v|\leqq \frac \pi 2 \] mit einer gewissen, genau angebbaren Arkusfunktion \(\psi(v)\) und mit \(\varepsilon(r)\) gleichmäßig \(\to 0\) bei \(r \to \infty\), dann ist \(\Phi(x)\) in eine Reihe (1) entwickelbar, deren Grenzabszisse nach links die größere der beiden Zahlen \(\alpha\) und \(\beta+\frac 1 2\) nicht übersteigt. Im vorliegenden zweiten Teile setzt Nörlund die Funktion \(\Phi(x)\) nach links hin analytisch fort durch Entwicklung in Newtonsche Reihen von den Typen \[ (3)\quad \sum_{n=0}^\infty b_n {x+\varrho-1 \choose n}\;\text{und}\;(4)\quad \sum_{n=0}^\infty c_n \frac{(x- \omega)(x-2 \omega)\cdots (x-n \omega)}{n!}. \] Durch die Transformation (3) dringt man bei positivem wachsendem \(\varrho\) in die größte Halbebene ein, in der \(\Phi(x)\) regulär und die untere Grenze \(\mu(\alpha)\) der Zahlen \(\beta\), für die eine Ungleichung von der Gestalt (2) gilt, nach oben beschränkt bleibt. Die Transformation (4) beherrscht bei positivem \(\omega \to 0\) die größte Halbebene, in der \(\Phi(x)\) regulär ist und auf vertikalen Geraden exponentiell mit der ersten Potenz der Ordinate anwächst: \(|\Phi(\sigma+i \tau)|=O(e^{k|\tau|})\) mit endlichem \(k\). Hieraus folgt: Für die Darstellbarkeit einer Funktion \(\Phi(x)\) durch eine Newtonsche Reihe der allgemeinen Art (4) ist notwendig und hinreichend, daß\ \(\Phi(x)\) in einer gewissen Halbebene regulär ist und dort bei festem \(k\) die Ungleichung \(|\Phi(x)|<c^{k| x|}\) erfüllt; dabei genügt es, \(\omega<\frac{\log 2}{k}\) nehmen. Am Schlusse der Abhandlung ermöglichen es die Ergebnisse dem Verf., das numerische Differentiieren und Integrieren mittels Interpolationsreihen einwandfrei durchzuführen; die Koeffizienten, von denen die Praktiker nur die ersten zahlenmäßig anzugeben pflegen, werden allgemein durch Nörlundsche verallgemeinerte Bernouliische Zahlen ausgedrückt.