Über die lineare elliptische Differentialgleichung zweiter Ordnung mit drei unabhängigen Veränderlichen. (Q1458884)

Der Verfasser behandelt die allgemeine lineare elliptische Differentialgleichung zweiter Ordnung mit drei unabhängigen Variablen \[ (I)\quad \sum_{i, k=1}^3 a_{ik}\frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_k}+\sum_{i=1}^3 b_i \frac{\partial u}{\partial x_i}+cu=d, \] wobei \(a_{ik}=a_{ki}\) und die quadratische Form \(\sum a_{ik}\alpha_i \alpha_k\) in einem gewissen Gebiete \(T_1\) des Raumes der \(x_1, x_2, x_3\), das von einer analytischen und regulären Fläche \(S_1\) begrenzt ist, definit ist. Die Koeffizienten \(a_{ik}\) besitzen in \(T_1\) stetige Ableitungen zweiter Ordnung, die die Höldersche Bedingung erfüllen, die Koeffizienten \(b_i\), besitzen stetige Ableitungen erster Ordnung, \(c\) und sind stetig. Das Ziel der Arbeit ist die Lösung der ersten und der zweiten Randwertaufgabe. Die Schwierigkeit gegenüber dem Falle von zwei unabhängigen Variablen besteht darin, daß\ für (I) keine Normalform existiert. Wollte man nämlich (I) auf die Form \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u} {\partial y^2}+{\partial^2 u}{\partial z^2}+a \frac{\partial u}{\partial x}+b \frac{\partial u}{\partial y}+c \frac{\partial u}{\partial z}+du=f \] zurückführen, in der die Koeffizienten der gemischten Ableitungen zweiter Ordnung verschwinden, die der reinen Ableitungen einander gleich sind, so müßte man fünf Bedingungen erfüllen. Man hat aber bei einer Transformation der unabhängigen Variablen nur drei Funktionen verfügbar. Das Studium von \((T)\) wird auf das der selbstadjungierten homogenen Gleichung \[ (II)\quad L(u)\equiv \sum_{i, k=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i}\left(a_{ik}\frac{\partial u}{\partial x_k} \right)=0 \] zurückgeführt, welche in den Koeffizienten der Ableitungen zweiter Ordnung mit (I) übereinstimmt. Die Gleichung (II) aber wird direkt behandelt. Die Theorie der Gleichung (II) wird in ähnlicher Weise wie die der Potentialgleichung \[ \Delta u \equiv \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0 \] entwickelt. Man kann nämlich Lösungen von (II) in Form von Flächenintegralen angeben, welche die den Potentialen einer einfach oder einer doppelt belegten Fläche zukommenden charakteristischen Eigenschaften besitzen. Ferner ist zu berücksichtigen, daß\ in der Potentialtheorie das Verhalten der Lösungen im Unendlichen benutzt wird, um daraus Schlüsse auf gewisse Eigenschaften im Endlichen zu ziehen. Damit dieser wichtige methodische Gedanke auch hier angewandt werden kann, ist es nötig, die Koeffizienten \(a_{ik}\) über das gegebene Definitionsgebiet \(T_1\) hinaus in den unendlichen Raum zweckmäßig fortzusetzen. Das geschieht so, daß\ \(L(u)\) außerhalb einer \(T_1\) einschließenden Kugel mit \(\Delta u\) identisch wird. Danach gelingt es, die Randwertaufgaben für (II) und schließlich auch für (I) zu lösen.