Zur Theorie der Voßschen und der Guichardschen Flächen. (Q1458949)

Die Voßschen Flächen sind bekanntlich die Flächen mit einem konjugierten Netz von geodätischen Linien; das sphärische Bild der letzteren ergibt ein Netz von äquidistanten Kurven auf der Kugel. Das gleiche Ergebnis besteht aber auch für die abwickelbaren Flächen einer Guichardschen Linienkongruenz, bei der jene Flächen auf den Brennflächen das Netz der Krümmungslinien ausschneiden; für die Brennflächen solcher Kongruenzen ist ein Mantel der Evolute überdies stets eine Voßsche Fläche. Es besteht ein natürlicher Zusammenhang zwischen den genannten Gebilden und den Flächen konstanter Krümmung, indem ja die Asymptotenlinien der letzteren ebenfalls äquidistante sphärische Bilder liefern. Verf. zeigt zunächst, daß\ die in der Literatur bereits vielfach bekannten Beziehungen zwischen den Voßschen Flächen, den Guichardschen Kongruenzen und den Flächen konstanter Krümmung sich mit relativ einfachen Mitteln rein geometrisch aufweisen lassen. Er stellt dann ein übersichtliches System von Formeln auf, aus denen sich jene Beziehungen ebenfalls ablesen lassen; die gegebenen Formeln gestatten auch, neue Möglichkeiten für die Ableitung Guichardscher (Brenn-)Flächen aus Voßschen und umgekehrt anzugeben. Von besonderem geometrischem Interesse sind die Guichardschen Kongruenzen, die zu einer Kugel gehören; man kann dieselben mit einem hohen Grad von Willkür dadurch ableiten, daß\ man dabei jedes konjugierte System auf der Kugel als Krümmungsnetz auffaßt. Wiederum ist hier der Fall ausgezeichnet, daß\ \textit{beide} Brennflächen der Kongruenz Kugeln sind; das System der gemeinsamen Tangenten zweier Kugeln ist stets ein Guichardsches; die Bestimmung der abwickelbaren Flächen eines solchen Systems ist identisch mit dem Problem der sphärischen Kegelgeodätischen. Verf. zeigt zuletzt, daß\ die an sich reizvolle letztere Aufgabe durch Quadraturen gelöst werden kann.