Ein mechanisches System mit quasiergodischen Bahnen. (Q1458964)

Während die Quasiergodenhypothese allgemein als Grundlage der statistischen Mechanik angesehen wird, fehlt es immer noch nicht nur an einem strengen Beweis derselben, sondern sogar an einfachen kinematischen (geschweige denn dynamischen) Beispielen von erweislichen quasiergodischen Bewegungen. Das hier gegebene Beispiel scheint das erste dieser Art zu sein und wird physikalisch wie folgt realisiert: Die Lobatschewskysche Geometrie mit dem Krümmungsradius \(-1\) kann bekanntlich einerseits auf der Rotationsfläche der Tratrix mit der Tangentenlänge 1, andererseits in der Halbebene \(y>0\) mit der Poincaréschen Metrik \[ ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2} \] interpretiert werden. Führt man in jener Halbebene die klassische Modulfigur \[ -\frac{1}{2} < x \leqq \frac{1}{2}, \quad x^2+y^2 \geqq 1 \] ein, so findet das durch deren symmetrische Halbierung \((0 \leqq x \leqq \frac{1}{2})\) gebildete Dreieck auf der entsprechenden Tratrix längentreu noch Platz, und die in diesem Dreieck \(\varDelta\) ausgeführte kräftefreie, an den Dreiecksseiten elastisch reflektierte Bewegung eines Massenpunktes ist nun fast stets quasiergodisch, d.h. sie kommt bei ``fast allen'' Anfangsbedingungen (mit der üblichen Bedeutung jener Bezeichnung) jedem Punkte von \(\varDelta\) beliebig nahe. Der Beweis erfolgt in überaus eleganter Weise dadurch, daß\ das Moduldreieck in der Poincaréschen Halbebene an seinen Seiten gespiegelt wird, und daß\ man mit den Bildern ebenso verfährt. Mit Hilfe der hier wohlbekannten Anwendung der Theorie der unimodularen Substitutionen lassen sich daraufhin die Bahnen (Stücke von Orthogonalkreisen zur \(x\)-Axe) genau verfolgen; zu jeder solchen Bahn gehört eine Kette \( \dots a_{-2}, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, \dots\) mit ganzen positiven \(a_\nu\); aus einem Satz von Burstin (Monatshefte f. Math. 26, 229; F. d. M. 45, 632 (JFM 45.0632.04)) folgt, daß die Kettenbruchentwicklung \(\xi=a_0+\frac{1}{a_1}\dotplus \frac{1}{a_2}\dotplus \cdots\) bei fast allen reellen Zahlen \(\xi\) quasiergodisch ist, d. h.: jede nur denkbare endliche Folge positiver ganzer Zahlen kommt in der zugehörigen ``Halbkette'' \(a_0, a_1, a_2, \dots\) tatsächlich vor. Die geometrische Interpretation dieses Satzes an der betrachteten Modulschachbrettfigur liefert den erwünschten Beweis.