Determinazione rigorosa delle onde irrotazionali periodiche in acqua profonda. (Q1458971)

Eine summarische Mitteilung über seine Lösung des Problems periodischer Wellen in tiefem Wasser durch unendliche Reihen hatte Verf. bereits auf dem Delfter Kongreß\ (1924) für Mechanik gegeben; die ausführliche Begründung wird auch hier erst -- für die Math. Ann. -- angekündigt, und nur das Wesentlichste wird zunächst angegeben. Bereits viel früher (die gleichen Rend. \(16_2\), 776-790, 1907; F. d. M. 38, 745 (JFM 38.0745.*), \(21_1\), 3-14, 1912; F. d. M. 43, 863 (JFM 43.0863.*)) hat Verf. die Aufgabe auf das analytische Problem zurückgeführt, alle Funktionen \(\omega(\zeta)=\vartheta+i \tau\) von \(\zeta=\varrho e^{i \sigma}\) zu bestimmen, die für \(|\zeta|\leqq 1\) regulär sind, für \(\zeta=0\) verschwinden und für \(|\zeta|=1\) der Gleichung \[ \frac{d \tau}{d \sigma}=pe^{-3 \tau} \sin \vartheta \] mit zunächst unbestimmtem Parameter \(p>0\) genügen. Dabei gilt mit den üblichen Bezeichnungen \[ p=\frac{g \lambda}{2 \pi c^2}; \] \(ce^\tau\) gibt die Geschwindigkeit der Teilchen relativ zur Welle, \(\vartheta\) die Neigung jener Geschwindigkeit gegen die Horizontalebene. Eine wirkliche Wellenlösung existiert zu \(\omega\), falls \[ | e^{-i \omega}-1|\leqq \beta<1\;\text{für}\;|\zeta|\leqq 1 \] gilt; in den wichtigsten praktischen Fällen hat man es sogar mit relativ kleinen \(\beta(<0,1)\) zu tun Wird zunächst \(\omega\) als infinitesimal angesehen, so erhält man in erster Näherung die klassischen Resultate von Airy. Sonst aber läßt sich mit einem Parameter \(\mu>0\) der Ansatz machen: \[ \omega=\sum_{n=1}^\infty \omega_n(\zeta)\mu^n, \;1- p=\sum_{n=1}^\infty k_{2n} \mu^{2n}; \] es werden hier die ersten (für die Anwendungen allein wichtigen) \(\omega_n(\zeta), k_{2n}\) errechnet, während der volle Konvergenzbeweis, wie oben angegeben, noch vorbehalten bleibt.