Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une classe \((L)\) soit une classe \((B)\). (Q1458997)

Eine Klasse \((L)\) ist eine solche mit wohldefiniertem Grenzbegriff (Fréchet); eine Klasse \((B)\) entspricht der Existenz einer Ungleichheit \[ \varrho(x, z)\leqq \varrho(x, y)+\varrho(y, z) \] für den Distanzbegriff \(\varrho\), man hat dann einen metrischen Raum vor sich. In der Nomenklatur von Hausdorff (Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig 1914, Kap. VII) läßt sich das vorgelegte Problem mit geringen Modifikationen auch so aussprechen: unter welchen Bedingungen ist ein topologischer Raum zugleich metrisch? Verf. schlagen den folgenden Weg ein: ``Sei \(\{V_n\}\)eine Folge von Gebieten um einen Punkt \(\xi\); enthält jedes Gebiet \(V\) um \(\xi\) mindestens ein \(V_n\), so bestimme \(\{V_n\}\) jenen Punkt. Ein Gebietssystem \(\varPi\) bedecke einen Raum \(E\), wenn jeder Punkt \(\xi\) von \(E\) mindestens einem Gebiet von \(\Pi\) angehört; sind \(\Pi_1\) und \(\Pi_2\) zwei solche Gebiete, so heiße \(\Pi_2\) in \(\Pi_1\) eingeschrieben, wenn zu jedem Gebietspaar \(G_2, V_2\) aus \(\Pi_2\) mit gemeinsamen Punkten ein Gebiet \(V_1\) aus \(\Pi_1\) gehört, der beide umfaßt Eine Kette \(\{\Pi_n\}\) von Systemen \(\Pi\) über \(E\) heiße vollständig, wenn zu jedem Punkt \(\xi\) von \(E\) und zu jeder Folge der \(V_v\) um \(\xi\) aus den entsprechenden \(\Pi_n\) die Aussage zutrifft, daß\ \(\{V_n\}\) den Punkt \(\xi\) bestimmt. Eine vollständige \(\Pi\)-Kette heiße zugleich regulär, wenn \(\Pi_{n+1}\) stets in \(\Pi_n\) eingeschrieben ist. Damit nun ein topologischer Raum zugleich auch metrisch ist, hinreichend und notwendig, daß\ in ihm eine reguläre vollständige Kette existiert.''