The general theory of a class of partial \(q\)-difference equations. (Q1459002)

Der Verf. behandelt das System \[ \text{(I)}\quad g_i(qx, ry)=\sum_{j=1}^n p_{ij}(x, y)=q_j(x, y) \;(i=1, 2 \dots, n) \] oder die äquivalente Matrixgleichung \[ \text{(II)}\quad G(qx, ry) = P(x, y) G(x, y), \] wo die \(p_{ij}(x, y)\) Polynome in \(x\) und \(y\) sind. Er ermittelt Fundamentalsysteme von Lösungen für die Umgebungen der singulären Punktepaare \((0, 0)\), \((\infty, \infty)\), \((0, \infty)\) und \((\infty, 0)\), welche in die ganzen beiden Ebenen analytisch fortgesetzt werden. Einerseits findet er formale Reihen durch direktes Einsetzen, anderseits gewinnt er konvergente Lösungsmatrizen durch einen geeigneten Grenzprozeß\ aus den formalen Produkten \[ \prod_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{q^n}, \frac{y}{r^n}\right)\;\text{und}\;\prod_{n=0}^\infty P^{- 1}(q^nx, r^ny). \] Diese Matrixlösungen werden durch Reihen in der Nähe der singulären Punktepaare dargestellt. Die gewöhnlichen einschränkenden Voraussetzungen über die Wurzeln der determinierenden Gleichungen werden in einem Spezialfalle beseitigt. Der Verf. zeigt weiter, daß\ der Quotient zweier Lösungsmatrizen sich durch eine Matrix von dreifach periodischen Funktionen zweier Variabeln ausdrücken läßt. Endlich wird das Problem umgekehrt: zwei Matrizen von Funktionen zwei Variabeln, die sich in der Nähe der singulären Punktepaare bestimmt verhalten, sonst bis auf Pole regulär sind und deren Quotient ein System von zwei multiplikativen Perioden \((q, r)\) hat, genügen einer Matrixgleichung wie (II), wo die Elemente von \(P\) Polynome sind. In methodischer Hinsicht steht die Arbeit den früheren Arbeiten von Birkhoff nahe.