Über die Bedingungen der Möglichkeit einer deduktiven Theorie. Ein Beitrag zu einer Mannigfaltigkeitslehre deduktiver Systeme. (Q1459085)

Die Arbeit untersucht, nach einem (durch reichhaltige Literaturangaben ergänzten) historischen Abriß und einer sorgfältigen Entwicklung der Problemstellung, zunächst in deskriptiver Weise die Bedingungen, die es ermöglichen, eine ``Theorie'' (eine unbeschränkte Mannigfaltigkeit von Erkenntnissen) durch Ableitung aus einem endlichen derartigen System zu begreifen. Es handelt sich im wesentlichen um die Eigenart einer deduktiven Theorie \textit{im Großen}, während ihr Studium \textit{im Kleinen} von den mathematischen Logikern bekanntlich seit Jahrzehnten erfolgreich betrieben wird. Von besonderem Interesse für den Mathematiker ist in diesem Teil die eingehende Erörterung der ``impliziten Definitionen'' der axiomatischen Methode. Im Mittelpunkt der folgenden Abschnitte steht der einleuchtend eingeführte und wertvoll erscheinende Begriff der ''Potenz'' einer Gruppe von Urteilen, der ein Maß für die Allgemeinheit (den Aussagegehalt) der Urteilsgruppe geben will; er gestattet namentlich: eine schärfere Fassung des Problems, ob ein gegebener Urteilskomplex ``inhaltsreicher'' ist als ein anderer. Auf diesen Begriff gestützt, wird der Nachweis versucht, daß deduktive Prozesse nicht bloß zu wählen haben zwischen den Möglichkeiten, entweder zu Speziellerem hinabzuführen oder sich in Identitäten zu bewegen; vielmehr wird das Charakteristische der wertvollen theoretischen (z. B. der mathematischen) Schritte darin erblickt, daß sie ``reversibel'' sind, d. h. ohne Trivialitäten den Aussagegehalt der Voraussetzungen in den der Folgerungen deduzieren. Den Schluß der Arbeit, die von der Komplikation durch die Anschauungen Brouwers einstweilen absieht, bildet ein Ausblick auf die sich anschließenden noch offenen Fragen.