Zur Grundlegung der kombinatorischen Topologie. (Q1459146)

In der allgemeinen Topologie heißen zwei Mannigfaltigkeiten äquivalent (homöomorph), wenn sie sich umkehrbar eindeutig und stetig aufeinander abbilden lassen. In der kombinatorischen Topologie wird zur Erklärung der Äquivalenz zweier Zellkomplexe die Bildung abgeleiteter Komplexe durch Zellteilung herangezogen. Es handelt sich nun um die Frage der Übereinstimmung der allgemeinen und der kombinatorischen Topologie, die für \(n\leqq 3\) Dimensionen bejaht wird. Zunächst wird kurz gezeigt, daß zwei M. (M. = Mannigfaltigkeit[en]) mit kombinatorisch gleichen Zellkomplexen sich auch umkehrbar eindeutig und stetig aufeinander abbilden lassen. Schwieriger gestaltet sich naturgemäß die Erledigung der andern Seite der vorgelegten Frage, nämlich der Beweis des Satzes, daß für zwei M., die mit je einem eingezeichneten Zellkomplex versehen sind, aus der allgemeinen Homöomorphie die Existenz eines gemeinsamen, durch elementare Unterteilungen abgeleiteten Zellkomplexes folgt. Dieser Beweis erfolgt in zwei Schritten: Die Zellen der beiden Zellkomplexe werden zunächst \textit{ohne} Benutzung der elementaren Unterteilung so zerschnitten, daß die beiden resultierenden Komplexe kombinatorisch gleich sind. Man denke an eine M. mit zwei verschiedenen eingezeichneten Komplexen. Es wird nun eine Metrik für die M. eingeführt, nach der die Zellen des einen Komplexes als hypereben und hyperebenflächig begrenzt erscheinen. Die Zellen des anderen Komplexes werden dann im Sinne dieser Metrik durch hyperebene Stücke approximiert, wobei die Vermeidung von Verknotungen besondere Sorgfalt erfordert. Schließlich werden diese hyperebenen Stücke bis zu den Seiten der Zellen des ersten Komplexes verlängert. Damit ist die M. zu einem Komplex elementarer (konvexer) Zellen zerschnitten, und diese Zellen lassen sich sowohl zu den Zellen des ersten wie zu denen des zweiten der beiden gegebenen Komplexe zusammenfassen. Nun bleibt noch zu zeigen, daß der so konstruierte Zellkomplex bzw. ein aus ihm durch elementare Unterteilungen abgeleiteter Komplex aus den beiden Ausgangskomplexen je durch aufeinanderfolgende elementare Unterteilungen gewonnen werden kann. Diesen zweiten Schritt des Beweises erledigt der Verf. im ersten ''kombinatorischen'' Teil seiner Arbeit. Den Kern bildet hier der Satz, daß es zu jedem einen Elementarraum darstellenden dreidimensionalen Komplex eine Reihe elementarer Unterteilungen gibt, so daß die Gesamtheit der Teilzellen durch sukzessive elementare Unterteilungen aus einer einzigen Zelle erhalten werden kann. Einen neuen übersichtlicheren Beweis dieses kombinatorischen Hauptsatzes gibt der Verf. übrigens in denselben Abhandlungen, 3, 237-245 (1924).