Sur les espaces topologiques compacts. (Q1459162)

Ein Punkt \(\xi\) einer Menge \(E\) in einem topologischen Raume \(R\) (im Sinne von Hausdorffs Mengenlehre, S. 209) heiße voller Häufungspunkt von \(E\), wenn die Mächtigkeit jeder Nachbarschaft von \(\xi\) in \(E\) gleich der Mächtigkeit von \(E\) selbst ist. Wenn ein topologischer Raum \(R\) die Eigenschaft besitzt, daß jede unendliche Menge \(E\) in ihm einen vollen Häufungspunkt besitzt, so heiße \(R\) bikompakt; u. a. ist jedes metrisierbare, d. h. dem metrischen Raume homöomorphe \(R\) bikompakt. Eine Mächtigkeit, die nicht als Summe von zwei verschiedenen geringeren Mächtigkeiten erscheint, heiße regulär. Jede Menge \(E\) in \(R\) von einer regulären Mächtigkeit zwischen \(\aleph_{\tau'}\), und \(\aleph_{\tau''}\) besitzt mindestens \textit{einen} vollen Häufungspunkt: was eine recht weitgehende Verallgemeinerung des Borel-Lebesgueschen Satzes darstellt. Ein \(R\) heiße regulär, wenn in jeder Nachbarschaft \(U(x)\) eines Punktes \(x\) in ihm eine Nachbarschaft \(V(x)\) nebst allen ihren Grenzpunkten liegt; ein \(R\) heiße vollständig, wenn kein neuer Punkt \(\xi\) zu \(R\) hinzugefügt werden kann, der nicht in \(R + \xi\) isoliert wäre. Damit ein \(R\) bikompakt sei, ist notwendig und hinreichend, daß \(R\) sowohl regulär wie vollständig sei. Jede perfekte Menge in einem bikompakten \(R\) hat mindestens die Mächtigkeit des Kontinuums. Auch irreguläre \(R\) können natürlich betrachtet werden; es herrschen in ihnen z. T. recht paradoxe Verhältnisse, wofür einige Beispiele gegeben werden.