Sur l'invariance topologique des ensembles complémentaires aux ensembles (A). (Q1459163)

Es sei ein System von Elementen \(l_{i_1\ldots i_k}\) für alle Kombinationen der natürlichen Zahlen \(i_1\), \(\ldots\), \(i_k\), \(k\) vorgeschrieben, und es möge eine Folge \[ l_{i_1},\; l_{i_1i_2},\;\ldots,\; l_{i_1\ldots i_k},\; \ldots \] eine \(\alpha\)-Kette heißen, wenn ihr ein wohldefiniertes Element \(l_{i_1\ldots i_k\ldots}\) zugeordnet wird. Sind insbesondere die \(l_{i_1\ldots i_k}\) Intervalle des Segmentes \([0,1]\), und versteht man unter \(l = l_{i_1\ldots i_k\ldots}\) den Durchschnitt aller Intervalle der zugehörigen \(\alpha\)-Kette, so bildet die Gesamtheit der \(l\) eine \((A)\)-Menge im Sinne von Souslin-Lusin (C. R. 164, 88; 91,1917; F. d. M. 46, 296 (JFM 46.0296.*); 390). Nach einer Bemerkung von Urysohn läßt sich die topologische Invarianz der \((A)\)-Mengen genau ebenso beweisen, wie dies Sierpinski für gewisse Mengen von anderer Struktur \((B)\) durchgeführt hat (C. R. 171, 24, 1920; F. d. M. 47, 179 (JFM 47.0179.*)). Nun gehört zu jeder \((A)\)-Menge eine komplementäre Menge \((\varGamma)\), und es ist erwünscht, zu wissen, ob eine zu \((\varGamma)\) homöomorphe Menge \((\varGamma')\) stets wiederum zu einer \((A)\)-Menge komplementär ist; dies kann nur dadurch entschieden werden -- und wird hier auch positiv entschieden --, daß man ein hinreichendes direktes Kriterium für eine \((\varGamma)\)-Menge aufstellt. Ein solches Kriterium ist das folgende: Es möge \(l_{i_1\ldots i_k}\) die Bairesche Gesamtheit (``Gruppe'') aller Folgen natürlicher Zahlen bedeuten, die mit \(i_1\), \(\ldots\), \(i_k\) beginnen; eine Folge im zugehörigen Gesamtraum \(E\) \[ l_{i_1^{(1)}\ldots i_k^{(1)}} l_{i_1^{(2)}\ldots i_k^{(2)}} \ldots \] heiße eine \(\gamma\)-Kette, wenn die zugehörigen Gruppen zu je zweien keine gemeinsamen Elemente aufweisen und insgesamt den ganzen Raum \(E\) bedecken; man bilde aus der \(\gamma\)-Kette eine Menge \(\varGamma\) genau ebenso, wie aus einer \(\alpha\)-Kette (s. o.) eine \((A)\)-Menge gebildet wird; dann ist eine solche \(\varGamma\)-Menge stets zu einer \((A)\)-Menge komplementär.