Über die Multiplizität der Schnittpunkte von zwei algebraischen Kurven. (Q1459310)

Ist \(x =a\), \(y =b\) ein Schnittpunkt der algebraischen Kurven \(f(xy) = 0\), \(g(xy) = 0\), so hat man offenbar \[ f(xy)\;g(ay)-f(ay)\;g(xy) = (x-a)\;h(xy); \] man gelangt so durch Iteration zum folgenden Satz: \(f(xy) = 0\) und \(g(xy)=0\) schneiden sich in \((ab)\) mit \(g_y \neq 0\) genau \(\nu\)-fach, wenn drei Polynome \(P\), \(Q\), \(R\) existieren, so daß \[ Pf-Qg=(x-a)^{\nu}R \] ist, wobei in \((ab)\) \(f=g=0\), \(P \neq 0\), \(R\neq 0\) gilt. Daraus folgt noch: Ist \((ab)\) nicht singulärer Punkt für beide Kurven, so bilde man die Funktionaldeterminanten \(f^{(1)}= (fg)=f_xg_y-g_xf_y\), \(f^{(2)}=\bigl(f^{(1)}g\bigr),\) usf.; ist \(\bigl(f^{(\nu)}g\bigr)\) das erste in \((ab)\) nichtverschwindende Polynom dieser Reihe, so ist \(\nu\) die dort gesuchte Multiplizität. Mit geringen Modifikationen läßt sich eine entsprechende Zurückführung auf immer kleinere Multiplizitäten auch beim allgemeinsten Fall theoretisch vornehmen: nur daß dort eine der obigen analoge stets gültige praktische Regel sich nicht mehr angeben läßt.