Zur Lieschen Kugelgeometrie im Nichteuklidischen Raum. (Q1459347)

Der Verf. geht aus von einer Darstellung für die 6 Plückerschen Koordinaten der Tangenten der absoluten Fläche: \(x_0^2-\varkappa^2(x_1^2+x_2^2+x_3^2)=0\) durch vier homogene Parameter \(l, m, \lambda, \mu\). Indem er noch die 4 Koordinaten eines beliebigen Punktes der Tangente hinzunimmt und die 10 Koordinaten mit geeigneten Faktoren multipliziert, erhält er 10 Größen, die in denselben Beziehungen stehen, wie die Linienkoordinaten des \(R_4\), die daher auch als Koordinaten von Kreisen des \(R_3\) gedeutet werden können. Die Ausdrücke dieser Größen in den Parametern sind, von Zahlenfaktoren abgesehen, die Koeffizienten einer orthogonalen Transformation, sie bestimmen daher \(l:m:\lambda:\mu\) eindeutig. Bei willkürlichen \(l, m, \lambda, \mu\) definieren daher die Gleichungen \(\infty^3\) Kreise, die den Punkten eines \(R_3\) mit den Koordinaten \(l:m:\lambda:\mu\) eindeutig umkehrbar zugeordnet sind. Der Verf. nennt diese Kreise \textit{Minimalkreise}. Jede Erzeugende der absoluten Fläche ist ein Minimalkreis, jede nicht erzeugende Tangente ist in zwei Minimalkreise zerlegt. Der Verf. erreicht also hier auf anderem Wege dasselbe, was Study durch seine \textit{Orientierung} der Tangenten erreiccht (vgl. das zweitletzte Referat S. 468-472). Der Verf. orientiert nun die Punkte des nichteuklidischen Raumes und nennt den orientierten Punkt \textit{Wirbel}; die Minimalkreise stellen sich dabei als lineare Örter von Wirbeln heraus und ebenso als lineare Örter von Blättern (orientierten Ebenen). Endlich zerlegt er die Kugel in vier \textit{Sphären}, indem er nicht bloß die beiden Scharen von Erzeugenden voneinander unterscheidet, sondern überdies jede Schar von Erzeugenden in zwei Scharen von Minimalkreisen zerlegt. Die Zuordnung zwischen den Minimalkreisen und den Punkten bestimmt die Liesche Berührungstransformation, die die Kugeln des nichteuklidischen Raumes in die Geraden verwandelt. Durch Einführung der Sphären wird erreicht, daß die Beziehung zwischen den Sphären und den Geraden eindeutig umkehrbar wird.