Über mehrdimensionale lineare Strahlen-und Ebenenkomplexe. (Q1459386)

Das Pfaffsche Problem führt zu der Frage: ``Wann kann ein gegebenes System einer linearen und einer alternierend-bilinearen Form \[ A = \sum_{i=1}^n a_ix_i,\quad \mathfrak A = \sum_{i,k=1}^n \mathfrak a_{ik}x_iy_k\qquad (\mathfrak a_{ik}=-\mathfrak a_{ki}) \tag{1} \] durch kogrediente lineare Substitutionen \[ x_i = \sum_{k=1}^n c_{ik}x_k^{\prime},\quad y_i = \sum_{k=1}^n c_{ik}y_k \tag{2} \] in ein System \(A'\), \(\mathfrak A'\) derselben Art übergeführt werden ?'' Der Frobeniusschen algebraischen Lösung wird hier eine geometrische gegenübergestellt. Man deute die \(x_i, y_i\) als homogene Punktkoordinaten eines \(S_n\); dann stellt \(A = 0\) eine Überebene \(A\) und \(\mathfrak A=0\) einen linearen Strahlenkomplex \(\mathfrak A\) dar, und entsprechend \(A'\), \(\mathfrak A'\). Wann ist also ein System \((A, \mathfrak A)\) mit einem ändern \((A', \mathfrak A')\) projektiv äquivalent? Es bezeichne \(\mathfrak A\) zugleich die Matrix der \(\mathfrak a_{ik}\) und \(\mathfrak M\) die durch Hinzufügung der Zeile \((a_i)\) erweiterte Matrix und entsprechend \(\mathfrak A'\), \(\mathfrak M'\). Es ist zu zeigen, daß der Rang \(r\) von \(\mathfrak M\) die einzige absolute Invariante des Formenpaares ist. Da \(r\) gerade, setze man \(r = 2m + 2\), \(n =r+h = 2m+2+h\). Die Nullüberebenen der Korrelation \(\mathfrak A=0\) sind: (A) \(\sum \mathfrak a_{ik}x_k=0\). Ist diese Korrelation eine \(h\)-fach singuläre, so bestimmen die Gleichungen (A) einen \(S_{h-1}\). Man hat drei Fälle zu unterscheiden, je nachdem \(h=0\), \(r=s=n\) oder aber \(h\gtrless 0\), \(r=s=2m+2\). Nach einem Bertinischen Verfahren werden dann die Formenpaare kanonisiert. Man erhält im ersten Falle das Paar \(x_{2m+2}\) und \(\sum(x_iy_{2m+1-i}-y_ix_{2m+1-i})\); im zweiten Fall tritt \(x_n\) an die Stelle von \(x_{2m+2}\), während der dritte Fall auf den ersten zurückkommt. Hieraus läßt sich in der Tat folgern, daß der Rang von \(\mathfrak M\) die einzige absolute Invariante des Formenpaares ist. Nunmehr werden allgemein zwei alternierende multilineare Formen \(p\)-ter und \((p+1)\)-ter Stufe betrachtet, und es wird nach deren absoluten Simultaninvarianten gefragt. Es genügt, als Typus den Fall einer Bilinearform \(A\) und einer trilinearen \(C\) in fünf Variabein zu untersuchen. Nunmehr wird insbesondere der Fall von zwei bilinearen Formen \(A\), \(\mathfrak A\) im \(S_4\) im einzelnen ausgeführt. Die Gleichungen \(A = 0\), \(\mathfrak A=0\) bedeuten einen linearen Strahlen- resp. Ebenenkomplex im \(S_4\). Die Determinante von \(A\) ist vom Range 4 oder 2, je nachdem der Komplex ein allgemeiner oder ein spezieller ist. Im ersteren Falle existiert ein singulärer Punkt, der ``Brennpunkt'' \(B\). In jeder Überebene \(S_3\) bilden die Komplexstrahlen einen \(\infty^3\)-Komplex \(\varGamma_1\), der dort eine Nullkorrelation induziert. Damit lassen sich die Formen \(A\) und \(\mathfrak A\) auf die kanonische Gestalt bringen: \(A=p_{12}+p_{34}\), \(\mathfrak A=p_{125}+\lambda p_{345}\). Fallen jedoch die Achsen der beiden Komplexe zusammen, so tritt die Modifikation ein: \(A = p_{12}+ p_{34}\), \(\mathfrak A=p_{152}+p_{342}\). Hierzu tritt noch ein weiterer Sonderfall: \(A=p_{12}+p_{34}\), \(\mathfrak A=p_{152}+ p_{452}\), womit dann alle Fälle des Ranges 4 erledigt sind. Ist aber die Determinante von \(A\) vom Range 2, so zieht sich \(A\) kanonisch auf ein einziges Glied \(p_{12}\) resp. \(p_{13}\) zusammen. (V 5 A, II 4.)