Über eine besondere Klasse algebraischer Mannigfaltigkeiten. (Q1459387)

Die Erzeugung eines Hyperboloides durch die projektive Beziehung der Punkte zweier Raumgeraden, mit den Parametern \(\lambda, \mu\), läßt bekanntlich die kanonische Darstellung zu mittels der fortlaufenden Proportion \(x_3 : x_2 : x_1 : x_0 = \lambda\mu : \lambda : \mu : 1\). Dies Verfahren wird zu einem allgemeinen Prinzip erhoben. Sei \((x)\) ein Punkt eines \(S_{p-1}\) und \((y)\) ein solcher eines \(S_{q-1}\). Dann werden die Punktepaare \((x)\), \((y)\) beider Räume auf eine Mannigfaltigkeit \(M(z)\) abgebildet vermöge der Relationen (1) \(\varrho z_l=x_iy_k\). Die Dimension von \(M\) ist gleich der Anzahl der wesentlichen Parameter, also \(p+q-2\); die Ordnung von \(M\) bestimmt sich als \((p, q) = \left(\dfrac{p+q-2}{p-1}\right)\). Hält man einen Punkt \(P(x')\) des \(S_{p-1}\) fest, so erfüllt der entsprechende Punkt \(P(z)\) einen in \(M\) enthaltenen \(S_{q-1}^{\prime}\), das ``Bild'' von \(P(x')\), und entsprechend für einen zweiten Punkt \(P(x'')\) einen \(S_{q-1}^{\prime\prime}\), der zu \(S_{q-1}^{\prime}\) windschief ist. Analoges ergibt sich bei der Festhaltung von Punkten \(P(y')\), \(P(y'')\) des \(S_{q-1}\). Die Mannigfaltigkeit \(M\) enthält somit eine \(\infty^{p-1}\) Schar von \(S_{q-1}\), und eine \(\infty^{q-1}\) Schar von \(S_{p-1}\). Irgend zwei \(S\) verschiedener Scharen haben einen Punkt \(P\), das Bild des Paares \(x, y\), gemein und sind kollinear aufeinander bezogen. Nunmehr sei im besonderen \(p=q=n\); die beiden Räume \(S(x)\) und \(S(y)\) sind dann mit \(X_{n-1}\) und \(Y_{n-1}\) zu bezeichnen. Die Paare \((x,y)\) erfüllen eine \(M_1\) mit zwei Scharen von \(S_{n-1}\) (mit den obigen Eigenschaften). Sodann wird die Berührungsebene an \(M'\) im Schnittpunkte zweier \(S_{n-1}\) bestimmt. Weiter werden die Punkte \((x)\) auf einen Unterraum \(X_{p-1}\) des \(X_{n-1}\) beschränkt. Das Bild der Paare \((x,y)\) ist eine \(M_1^{\prime}\), die \(\infty^{p-1}S_{p-1}\) der einen Schar von \(M_1\) enthält, von denen der anderen Schar aber in \(\infty^{n-1}S_{p-1}\) getroffen wird. Es gilt dann weiter eine Art Dualitätsprinzip. Zwei \(S_{pn-1}\) derselben Schar schneiden sich in einem \(S_{(2p-n)n-1}\), während zwei \(S_{(n-p)n-1}\) derselben Schar in einem \(S_{2(n-p)n-1}\) liegen. Sodann wird der Ort aller \(S_{pn-1}\) bestimmt, der zugleich der Ort aller \(p\)-mal treffenden \(S_{p-1}\) der \(M_1\) ist. Endlich ergibt sich noch, daß es in einem linearen \(\infty^{r-1}\) System von Korrelationen zwischen zwei \(S_{n-1}\infty^{r-p^2-1}\) \(p\)-fach singuläre gibt, so daß \(p\leqq\sqrt{r-1}\).