Associated sets of points. (Q1459399)

Es mögen zwei Punktreihen vorliegen: eine \(P_n^k\) in einem \(S_k\) vermöge der Gleichungen \((up_1) = 0, \ldots, (up_n) = 0\) und eine \(Q_n^{n-k-2}\) in einem \(S_n\) vermöge \((vq_1) = 0,\ldots, (vq_n) = 0\). Beide Reihen heißen assoziiert, wenn zwischen den \(u_i\) und \(v_i\) eine bilineare Identität besteht von der Form: \(\sum (up_i)(vq_i) = 0\). Jede der beiden Reihen bestimmt dann die andere eindeutig. Abgesehen vom Fall der Selbstassoziation (\(k =n-k-2\)) liegen assoziierte Reihen in \(S\) verschiedener Dimension. Entweder läßt sich dann der niedrigere \(S\) auf den höheren abbilden (map), oder umgekehrt wird der letztere \(S\) auf den ersteren projiziert. So z. B. werden im Falle einer \(P_n^1\) die \(n\)-tupel von \(P\) einer Geraden abgebildet auf die \(P\) einer assoziierten \(Q_n^{n-3}\) einer Normkurve \(N_{n-3}\) im \(S_{n-3}\), derart, daß der \(P_n^1\) die assoziierte \(Q_n^{n-3}\) entspricht. Umgekehrt wird die \(Q_n^{n-3}\) projiziert von einem \(S_{n-3}\), der die \(N_{n-3}\) viermal trifft, auf die \(P_n^1\). Im allgemeinen erheben sich zwei Hauptfragen: 1. Wenn \(n-k-2\leqq k\), läßt sich der \(S_k\) so auf den \(S_{n-k-2}\) abbilden, daß \(P^k_n\) in \(Q_n^{n-k-2}\) übergeht? 2. Wenn \(n-k-2>k\), läßt sich die \(Q_n^{n-k-2}\) auf die \(P_n^k\) projizieren ? Die Lösung erfolgt bei beiden Aufgaben für \(k=2\), bei der ersteren auch für \(k=3\); die letztere Aufgabe scheint für \(k=3\) unlösbar zu sein. Weiter werden noch Reihen untersucht, für die \(n\) und \(k\) partikuläre Werte haben, ferner ``Spezialreihen'', die bei gegebenen \(n, k\) noch gewissen projektiven Bedingungen genügen. Im einzelnen werden durchgeführt: die Abbildung der \(P_n^2\) auf die assoziierte \(Q_n^{n-4}\), der \(P_n^3\) auf die assoziierte \(Q_n^{n-5}\), die Projektion der \(Q_{k+4}^4\) auf die assoziierte \(P^2_{k+4}\), u. a. m.