Genere della curva doppia per la varietà di \(S_4\) che annulla un determinante simmetrico. (Q1459402)

Unter der Voraussetzung \(s > 3\) sei \[ F=\left| \begin{matrix} f_{11} & \ldots & f_{1s}\\ \ldots & \ldots & \ldots \\ f_{s1} & \ldots & f_{ss} \end{matrix}\right| \] eine symmetrische Determinante, deren Elemente \(f_{ik}=f_{ki}\) beliebige Formen \(m\)-ten Grades von fünf Veränderlichen \(x_0, x_1,\ldots, x_4\) sind. Ist Fvk das algebraische Komplement von \(f_{ik}\) in \(F\), so hat die Hyperfläche \(F=0\) als Doppelpunkte diejenigen, welche alle Unterdeterminanten \(F_{ik}\) annullieren; sie bilden eine Kurve, deren Ordnung bekannt, nämlich gleich \(\dbinom{s+1}{3}m^3\) ist (vgl. Encykl. der mathem. Wissensch. III\(_2\), 931). Der Verf. beweist, daß ihr Geschlecht durch: \(\dfrac{(s+1)s^2(s-1)}8 m^4-\dfrac{5(s+1)s(s-1)}{12}m^3+1\) gegeben ist, einen Ausdruck, der auch in den ausgeschlossenen Fallen \(n=s=2, 3\) gilt. Als besonderen Fall folgert man daraus, daß die Hessesche Hyperfläche einer Hyperfläche \(n\)-ter Ordnung im \(R_4\) die Ordnung \(20(n-2)^3\) und das Geschlecht \(75(n-2)^4-50(n-2)^3+1\) hat.