Transformations of surfaces. (Q1459425)

Zusammenfassung einer großen Anzahl von Untersuchungen über dreidimensionale Differentialgeometrie, in großem Ausmaße für den \(R_n\) verallgemeinert und ausführlich unter einem einheitlichen Gesichtspunkte neu entwickelt. Die fraglichen Untersuchungen, die mit wenigen Ausnahmen aus dem letzten Vierteljahrhundert datieren und in erster Linie von Guichard herrühren, betreffen direkt oder indirekt Transformationen von Flächen bestimmter Art in andere, wiederum von der gleichen Art. Es gibt darunter zwei allgemeine Typen von besonderer Wichtigkeit: Transformationen, bei denen die beiden betrachteten Flächen zugleich die Fokalflächen einer \(W\)-Kongruenz sind, sowie gewisse ``fundamentale'' oder \(F\)-Transformationen (vgl. w. u.), deren Theorie erst in letzter Zeit systematisch entwickelt worden ist, während sie hier als zentrales bindendes Element des ganzen Buches erscheinen. Beide Arten von Transformationen werden zuerst an speziellen Fällen erörtert. Der Inhalt des Buches reicht weiter, als der Titel angibt; das behandelte Material ist nicht nur reichhaltig, sondern auch vielseitig. So ist mehr als ein Drittel des Werkes den Kongruenzen von Kreisen und Kugeln, den Regelflächen (ruled surfaces), sowie den auf eine Fläche zweiter Ordnung abwickelbaren Flächen gewidmet. Verf. hat es meisterhaft verstanden, den so verschiedenartigen Stoff in natürlicher Weise einheitlich zu gestalten. Sind zwei Flächen des \(R_3\) eineindeutig stetig aufeinander bezogen, so existiert i. a. auf jeder derselben ein konjugiertes Netz, das dem auf der anderen entspricht. Die betreffende Transformation wird nun mit Hilfe dieser Netze, sowie der Kongruenz der Verbindungsgeraden der entsprechenden Punkte beider Flächen studiert. Ein Netz ist charakterisiert durch seine Punktgleichung in der Form \[ \frac{\partial^2\theta}{\partial u\partial v}= \frac{\partial\log a}{\partial v}\frac{\partial\theta}{\partial u}+ \frac{\partial\log b}{\partial b}\frac{\partial\theta}{\partial v}; \tag{1} \] von den Linienkongruenzen kann hier verlangt werden, daß sie zwei verschiedene Scharen von Developpablen aufweisen. Eine Kongruenz \(G\) und ein Netz \(N\) heißen zueinander konjugiert, wenn die Kurven von \(N\) auf den Developpablen von \(G\) liegen, vorausgesetzt, daß \(N\) kein Fokalnetz von \(G\) ist. Sind \(N\) und \(N_1\) zwei aufeinander bezogene Netze, und bilden die Verbindungsgeraden der entsprechenden Punkte eine Kongruenz \(G\), deren Developpablen diese Netze enthalten, so können drei Fälle vorkommen. Entweder sind \(N\) und \(N_1\) die Fokalnetze von \(G\): dann sind sie auch Laplacesche Transformierte voneinander; oder \(N\) ist ein Fokalnetz von \(G\), \(N_1\) aber nicht: dann möge \(N_1\) eine Levy-Transformierte von \(N\) heißen; oder es sind weder \(N\), noch \(N_1\) Fokalnetze von \(G\) (der allgemeine Fall): dann ist \(G\) konjugiert zu \(N\) wie zu \(N_1\), und man hat eine \(F\)-Transformation vor sich. Um eine \(F\)-Transformation eines gegebenen Netzes \(N\) zu erhalten, wähle man zuerst eine Kongruenz \(G\), die konjugiert zu \(N\), und dann ein Netz \(N_1\), das konjugiert zu \(G\) ist; \(G\) ist bestimmt durch ein zu \(N\) paralleles Netz \(N'\), wobei die Richtungsparameter von \(N\) als Punktkoordinaten von \(N'\) zu nehmen sind; jedes Netz \(N_1\) das zu \(G\) konjugiert ist und also zu \(N\) in einer \(F\)-Beziehung steht, ist daraufhin bestimmt durch eine Lösung \(\theta\) der Punktgleichung (1) von \(N\). Die Punktkoordinaten von \(N_1\) haben die einfache Gestalt \(x_1=x -\dfrac{\theta}{\theta'}x'\), worin \(\theta'\) eine durch \(\theta\) bestimmte Lösung der Punktgleichung von \(N'\) ist. Eine \(F\)-Transformation erfordert also zwei unabhängige Elemente, eine zu \(N\) konjugierte Kongruenz \(G\) und eine Lösung \(\theta\) von (1). Zwei Netze \(N_1, N_2\), die \(F\)-Transformierte eines Netzes \(N\) durch \(G_1\), \(\theta_1\) bzw. \(G_2, \theta_2\) sind, sind \(F\)-Transformierte voneinander, wenn \(G_1\) und \(G_2\) die gleiche Kongruenz bedeuten, oder wenn \(\theta_1=\theta_2\) ist. Der allgemeine Fall \(G_1\neq G_2\), \(\theta_1\neq\theta_2\) führt zu einem wichtigen ``Permutabilitätstheorem'': es existiert dann nämlich ein Netz \(N_{12}\), das \(F\)-transformiert ist sowohl inbezug auf \(N_1\) wie auch inbezug auf \(N_2\); entsprechende Punkte der vier Netze liegen in je einer Ebene \(p\), die ein Netz umhüllt, und entsprechende Tangentialebenen schneiden sich in je einem Punkte \(P_1\), der ein Netz erzeugt. Ein Netz \(N\) und eine Kongruenz \(G\) heißen zueinander harmonisch, wenn die Kurven von \(N\) auf die Developpablen von \(G\) bezogen sind und die Fokalpunkte der Geraden von \(G\) jeweilig auf Tangenten der entsprechenden Kurven von \(N\) liegen. Diese Beziehungen stehen in engerem Zusammenhang mit den Levy- und mit den \(F\)-Transformationen; insbesondere sind zwei \(F\)-verbundene Netze harmonisch inbezug auf die gleiche Kongruenz, die harmonische Kongruenz der zugehörigen \(F\)-Transformation. Sind zwei nichtparallele Kongruenzen \(G_1, G_2\) harmonisch zu einem Netz \(N\), so beschreibt der Schnittpunkt der entsprechenden Geraden von \(G_1\) und \(G_2\) ein zu den beiden Kongruenzen konjugiertes, aus N ``abgeleitetes'' Netz. Sind \(G_1, G_2\) konjugiert zu einem Netz \(N\), so umhüllen die Ebenen der entsprechenden Geraden von \(G_1\) und \(G_2\) ein zu den beiden Kongruenzen harmonisches, nach \(N\) ``ableitendes'' Netz. Das oben durch \(P\) erzeugtes Netz ist ein abgeleitetes, das durch \(p\) umhüllte -- ein ableitendes Netz, und zwar inbezug auf jedes der vier Netze des Permutabilitätstheorems. Die so gegebene allgemeine Theorie läßt sich auf den \(R_n\) ausdehnen und wird bereits in diesem Umfang in den beiden ersten Kapiteln des Buches gegeben. Kap. III behandelt Laplacesche Folgen im \(R_n\); die analytischen Bedingungen für die Periodizität einer Folge werden aufgestellt, und es wird gezeigt, daß eine periodische Folge \(p\)-ter Ordnung in einem \(R_{p-1}\) liegt. Kapp. IV, V behandeln spezielle \(F\)-Transformationen im \(R_3\), sowie gewisse Beziehungen derselben zu den Bianchischen Transformationen, bei denen eine Fläche und ihre Transformierte die Fokalflächen einer \(W\)-Kongruenz bilden. Die wichtige Frage der Transformation von orthogonalen (\(O-\)) Netzen wird ausführlich behandelt, sowohl im \(R_n\) (Kap. VI) wie speziell im \(R_3\) (Kap. VII). Es wird gezeigt (Guichard), daß \(O\)-Netze, die \(F\)-Transformierte eines gegebenen \(O\)-Netzes sind, entweder selbst \(O\)-Netze des gleichen Raumes bilden oder als Projektionen von \(O\)-Netzen aus höheren Räumen auf jene aufgefaßt werden können; die konjugierten Kongruenzen stehen in einfachen entsprechenden Beziehungen zu Kongruenzen von Minimalgeraden. Unter den \(F\)-Transformationen von \(O\)-Netzen in \(O\)-Netze sind besonders die Ribaucourschen (\(R\)-) hervorgehoben; im \(R_3\) bestehen dann die beiden Netze aus den Hauptkurven der beiden Mäntel der Enveloppe einer Kugelkongruenz; Transformationen dieser Art, allgemeine wie spezielle, werden eingehend untersucht. Kap. VIII behandelt Kugel- und Kreiskongruenzen im \(R_3\); es wird der wichtige Umstand benutzt, daß zwischen den Kugelkongruenzen im \(R_3\) und den Geradenkongruenzen im \(R_5\) eine direkte Beziehung hergestellt werden kann, bei der die Hauptkurven der Kugelnenveloppe den Developpablen der Geradenkongruenz entsprechen; einer Kreiskongruenz im \(R_3\) entspricht dabei ferner ein Netz im \(R_5\). Auf diese Weise lassen sich z. B. \(F\)-Transformationen von Kreiskongruenzen im \(R_3\) mit Hilfe der entsprechenden Netztransformationen des \(R_5\) studieren; insbesondere erweist sich das Problem der \(F\)-Transformationen von zyklischen Kreissystemen als äquivalent mit dem gleichen Problem für \(O\)-Netze. Sind \(S\) und \(\overline{S}\) zwei aufeinander abwickelbare Flächen, und wird \(S\) festgehalten, während die bewegte \(\overline{S}\) jede Lage einnehmen darf, bei der ein Punkt \(\overline{P}\) stets auf den entsprechenden \(P\) fällt, so sagt man, daß \(\overline{S}\) auf S rollt; die bekannten Resultate von Darboux und Guichard über die invarianten Elemente einer solchen Bewegung werden in Kap. IX mit Hilfe der \(F\)-Transformationen von Netzen abgeleitet, auf die andere Netze abgewickelt werden können. Das Problem der Deformation einer Fläche zweiter Ordnung wird im Kap. X mit Hilfe von ``permanenten'' Netzen untersucht, die unendlichviele abwickelbare Netze zulassen, indem die sich entsprechenden Netze dieser Art auf der Ausgangsfläche und auf der Deformierten herangezogen werden. Zwei besondere Transformationen dieser Netze werden eingehender studiert, eine \(F_k\) von Guichard und Eisenhart, sowie eine \(B_k\) von Bianchi. Die erste ist einfach eine \(F\)-Transformation eines permanenten Netzes auf der Fläche zweiter Ordnung \(Q\) in ein zweites solches Netz auf \(Q\), oder auch dgl. für auf \(Q\) abwickelbare Netze; die zweite betrifft die Fokalnetze einer \(W\)-Kongruenz. Verf. stellt bemerkenswerte Beziehungen zwischen beiden dadurch her, daß er eine neue Definition der \(B_k\) heranzieht: die \(B_k\)-Transformation eines Netzes \(\overline{N}\), das auf ein Netz \(N\) von \(Q\) abwickelbar ist, erscheint als das abgeleitete Netz von \(\overline{N}\) vermittelst zweier passenden Lösungen \(\theta_1, \theta_2\) der Punktgleichung von \(\overline{N}\); die Beziehung zu den \(F_k\) ist dadurch gegeben, daß durch jede jener Lösungen entsprechende \(F_k\)-Transformierte von \(N\) mitdefiniert werden. Auf diese Weise gelingt es Verf. u. a., ein interessantes Permutabilitätstheorem für die Transformationen der beiden Typen aufzustellen.