Beiträge zur Inversionsgeometrie. III. (Q1459520)

Als Inversionsgeometrie wird die Invarianten-Theorie der Gruppe der Bewegungen, Ähnlich\-keitstransformationen und Transformationen durch reziproke Radien bezeichnet. Zunächst wird für Kurven sowohl in der Ebene als in Räumen von beliebiger Dimension eine Integral-Invariante, die ``Inversionslänge'', berechnet, die der Bogenlänge der euklidischen Geometrie entspricht. Mit ihrer Hilfe werden die Nullkurven und die Extremalen bestimmt, deren Inversionslänge Null ist, bzw. eine verschwindende erste Variation besitzt. Daran schließt sich die Bestimmung der niedrigsten Differential-Invariante, der ``Inversionskrümmung'', nebst einigen Anwendungen. Ferner wird die Inversionskrümmung einer Kanalfläche aufgestellt, mit der sich hauptsächlich die 2. Abhandlung beschäftigt. Die Dupinsche Zyklide, die in doppelter Weise als Kanalfläche aufgefaßt werden kann, besitzt für jede der beiden erzeugenen Kugelscharen eine konstante Inversionskrümmung \(J_1\) bzw. \(J_2\), zwischen denen die Beziehung \(J_1+ J_2 = 1\) besteht. Da nach Lie jedem Punkt einer Fläche eine Dupinsche Zyklide eindeutig zugeordnet werden kann, liegt es nahe, die Inversionskrümmung der Fläche in jedem Punkt durch das Produkt \(J_1J_2\) der beiden Inversionskrümmungen der Lieschen Zyklide zu definieren. Diese Invariante \(J_1J_2\) wird als Konformkrümmung der Fläche bezeichnet. In der 3. Abhandlung werden die allgemeinen Leitgedanken auf die Behandlung der inneren Geometrie einer Gruppe auf die Inversionsgeometrie angewandt und die Begriffe des Eigenparameters und der Eigengruppe eines Elements in den Vordergrund gestellt. (V 6 B.)