Symmetric tensors of the second order whose first covariant derivatives are zero. (Q1459545)

Der Verf. untersucht, wann eine \(n\)-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit (mit positiv-definiter Grundform \(ds^2 = g_{rs}dx^rddx^s\)) einen symmetrischen kovarianten Tensor \(\alpha_{rs}\) (\(\neq\) konst. \(g_{rs}\)) zuläßt, dessen erste kovariante Ableitung Null ist. Eine notwendige und hinreichende Bedingung hiefür besteht darin, daß \(ds^2\) durch eine Koordinatentransformation in die Form \(\sum\limits_{i=1}^j ds_i^2\) übergeführt werden kann, wo \(ds_1^2\) eine quadratische Differentialform in den ersten \(m_1\) Koordinaten ist, \(ds_2^2\) eine solche in den folgenden \(m_2\) Koordinaten usf. Man hat dann \[ \alpha_{rs}dx^rdx^s =\sum_{i=1}^j \varrho_i ds_i^2 \] mit willkürlichen Konstanten \(\varrho_i\). Schließlich wird noch gezeigt, daß bei gegebenem \(ds^2\) die Frage, ob ein oder mehrere Tensoren \(\alpha_{rs}\) existieren, auf ein algebraisches Problem herauskommt.