Über allgemeine Maßbestimmungen, in welchen die geodätischen Linien durch lineare Gleichungen dargesellt werden. (Q1459581)

Der Verf. stellt zunächst die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür auf, daß ein reguläres Variationsproblem erster Ordnung im \(n\)-dimensionalen Raum lauter geradlinige Extremalen hat, und zwar sowohl in gewöhnlichen inhomogenen, wie auch in homogenen Koordinaten \(x_\alpha\) (\(\alpha =1,\;2,\;\ldots,\;n+1\)). Sodann zeigt er: Ist \(f\) eine Form beliebiger Dimension \(k\) und so beschaffen, daß \[ f(x_\alpha\lambda + x_\alpha')=0 \] in einem gewissen Gebiet der \(x_\alpha\), \(x_\alpha'\) Lösungen nach \(\lambda\) hat, so liefert jede lineare Funktion der Wurzeldifferenzen dieser Gleichung, als Bogenelement genommen, als Extremalen Gerade. Hierin sind u. a. als besondere Fälle die Cayleysche und die Hilbertsche Maßbestimmung, sowie eine Verallgemeinerung der elliptischen Geometrie enthalten. Schließlich wird noch folgende Verallgemeinerung des bekannten Beltrami-Schlaeflischen Satzes über die Riemannschen Mannigfaltigkeiten konstanter Krümmung bewiesen: Wenn als Bogenelement die \(\varkappa\)-te Wurzel einer ganzen rationalen homogenen Funktion \(\varkappa\)-ten Grades der Differentiale der homogenen Koordinaten gegeben ist und die Extremalen Gerade sind, so hat das Bogenelement notwendig die Form \(\root\varkappa\of{f(p_{\alpha\beta})h^{-2}(x_\alpha)}\,dt\), (\(p_{\alpha\beta} = x_\alpha x_\beta' - x_\beta x_\alpha'\)). Dabei ist \(f = 0\) ein spezizieller Komplex; \(h\) verschwindet für den Ort der singulären Punkte des Komplexes und ist im übrigen bis auf einen konstanten Faktor durch \(f\) bestimmt.