Vektorielle Begründung der sphärischen Trigonometrie. (Q1459591)

Alle Grundformeln für ein Eulersches sphärisches Dreieck können aus zwei Determinanten abgelesen werden, deren Elemente den Übergang von einem zugehörigen Dreikant \(\mathfrak p_i\) zum polaren \(\mathfrak p^k\) vermitteln. Hier ist \(i,\, k= 1,\, 2,\, 3\); \(|\mathfrak p_i | = p_i\), beliebig ; es wird \[ \mathfrak p_i\mathfrak p^k=\begin{cases} 0 &\text{für } i\neq k\\ 1 &\text{für } i=k \end{cases} \] vorausgesetzt, und man hat nun allgemein \[ \begin{aligned} &\mathfrak p^k=a^{k1}\mathfrak p_1 + a^{k2}\mathfrak p_2 +a^{k3}\mathfrak p_3, \\ &\mathfrak p_i=a_{i1}\mathfrak p^1 + a_{i2}\mathfrak p^2 +a_{i3}\mathfrak p^3, \end{aligned} \] zu setzen. Die betrachteten Determinanten sind offenbar zueinander reziprok, ferner hat man \[ a^{ik}=\mathfrak p^i \mathfrak p^k, \quad a_{ik}=\mathfrak p_i\mathfrak p_k \] und daraus einfache trigonometrische Ausdrücke für alle diese Größen. Aus dem reziproken Charakter von \(| a_{ik} |\) und \(| a^{ik} |\) folgt alles weitere: so z. B. der Sinussatz, wenn \(a^{ll}\) nun in bekannter Weise durch die \(a_{ik}\) ausgedrückt wird; \(l = 1\), 2, 3.