Mouvement d'un solide pesant fixé par un point voisin de son centre de gravité. (Q1459661)

Der Verfasser entwickelt zunächst seine Methode, das kanonische Gleichungssystem \[ \frac{dx_i}{dt}= \frac{\partial F}{\partial y_i}+\varepsilon\frac{\partial f}{\partial y_i};\quad \frac{dy_i}{dt}= -\frac{\partial F}{\partial x_i}-\varepsilon\frac{\partial f}{\partial x_i} \] von erster Ordnung in der kleinen Größe \(\varepsilon\) zu integrieren, wenn das System für \(\varepsilon=0\) durch \[ x_i=\xi_i(t,C_1,\ldots,C_{2n});\quad y_i=\eta_i(t,C_1,\ldots,C_{2n}) \] integriert ist. Es sei \[ \sigma=\int_{t_1}^t f(C_1,C_2,\ldots,C_{2n},t)\,dt=\sigma(x_i,y_i,t). \] Dann sind die Variationen erster Ordnung durch \[ \delta x_i=\varepsilon\frac{\partial\sigma}{\partial y_i},\quad \delta y_i=-\varepsilon\frac{\partial\sigma}{\partial x_i} \] gegeben. Zum Beweise wird angenommen, daß die zum verkürzten Problem (\(\varepsilon=0\)) gehörige Hamiltonsche partielle Differentialgleichung \[ H\left(x_i,\frac{\partial S}{\partial x_i}\right)= \operatorname{const}=h(\beta_1,\ldots,\beta_n) \] durch ein vollständiges Integral mit \(n\) Konstanten \(\beta_i\) gelöst sei und daher das kanonische System für \(\varepsilon=0\) durch \[ \frac{\partial S}{\partial x_i}=y_i,\quad \frac{\partial S}{\partial\beta_i}=\alpha_i,\quad \beta_i=\operatorname{const.}, \quad \alpha_i=\frac{\partial h}{\partial\beta_i}t+w_i. \] Um aber das Schlußergebnis hinzuschreiben, ist es weder nötig, die Eliminationen wirklich auszuführen, noch das Differential\-gleichungs\-system in der angegebenen Weise zu integrieren, noch braucht das Gleichungssystem kanonisch zu sein. Werden vielmehr die Lagrangeschen Koordinaten \(q_i\) gebraucht, in denen die kinetische Energie \[ E=\tfrac12\sum a_{ik}\dot q_i\dot q_k+\sum b_i\dot q_i+C \] sei, so ergibt sich die Variation von \(q_i\) nach der Formel \[ \delta q_i=\varepsilon\frac{A_{ii}}{A}\cdot \frac{ D\left( \dfrac{q_1,\ldots,q_n;\dot q_1,\ldots,\dot q_{i-1},\sigma, \dot q_{i+1},\ldots,\dot q_n}{C_1,C_2,\ldots,C_{2n}} \right) } { D\left( \dfrac{q_1,\ldots,q_n;\dot q_1,\ldots,\dot q_n}{C_1,C_2,\ldots,C_{2n}} \right) } \] wo mit \(D\) Funktionaldeterminanten, mit \(A\) die Determinante der \(a_{ik}\) und mit \(A_{ii}\) die Unterdeterminante zu \(a_{ii}\) bezeichnet ist. Im zweiten Teil wendet der Verfasser seine Theorie auf den Fall eines schweren starren Körpers an, der beinahe im Schwerpunkt unterstützt ist. \(\varepsilon=0\) entspricht dem Fall des im Schwerpunkt unterstützten Körpers, den man mit elliptischen Funktionen genau integrieren kann. Die Rechnung wird weitgehend durchgeführt. Am Schlusse folgen astronomische Anwendungen.