Kann die Bewegung eines Systems von \(s\) Freiheitsgraden mehr als \((2s - 1)\)-fach periodisch sein? (Q1459686)

Boltzmann hat bekanntlich zuerst die für viele physikalische Probleme wesentliche Ergodenhypothese aufgestellt, die man heute -- nach den prinzipiellen Einwänden von P. u. T. Ehrenfest und den diesbezüglichen Beweisen von Rosenthal und Plancherel -- in der allein diskutierbaren Form der Quasiergodenhypothese betrachtet: danach kommt i. a. die Phasenbahn einer Bewegung in jede noch so kleine Nachbarschaft eines beliebigen Punktes der gesamten Energiefläche, wofür übrigens gerade ein erster Beweis geliefert worden ist (vgl. vorst. Ref.). Aber auch die höheren Differentialquotienten nach der Zeit werden dabei nach Belieben genau approximiert, und all dies gilt selbst dann, wenn durch Spezialisierung des Falles die Phasenbahn in einen Teilraum \(G_{\varrho}\) von eventuell tieferer Dimension \(\varrho\) der \((2s - 1)\)-dimensionalen Energiefläche \(H(q,p)= E\) (in der üblichen Bezeichnung) eingebettet erscheint. Es mögen nun in einer solchen \(G_{\varrho}\)-Bewegung (\(\varrho\leq 2s-1\)) alle Koordinaten \(q_1, \ldots, p_s\) durch \(\nu\)-fache Fourierreihen mit den Termen \(\displaystyle{\cos \atop \sin} 2\pi\omega t\), \(\omega = m_1\omega_1+\cdots+ m_{\nu}\omega_{\nu}\) darstellbar sein, \(\omega_{\varkappa}=\) konst., \(m_{\varkappa}\) rational ganz, \(k= 1, \ldots, \nu\). Alsdann wird die \textit{Vermutung} ausgesprochen, daß man nun \(\nu =\varrho\) haben wird, sobald auch die \(\omega_{\varkappa}\) als tatsächlich arithmetisch unabhängig vorausgesetzt werden, also keine Beziehung \(k_1\omega_1+\cdots+k_{\nu}\omega_{\nu}=0\) mit ganzen rationalen \(k_{\varkappa}\) besteht. Sollte diese Vermutung zutreffen, so wären damit mehrfach-periodische Bewegungen mit \(s<\nu\leq 2s - 1\) unabhängigen Frequenzen nachgewiesen, für die die gewöhnlichen, nur auf \(\nu\leq s\) bezüglichen Quantenregeln überhaupt nicht mehr ausrei\-chen würden -- eine Möglichkeit, auf die auch N. Bohr gelegentlich hingewiesen hat (Ann. d. Phys. 71, 275-277, 1923).