On the number of roots of algebraic equations inside and on the unit circle. (Q1459939)

Bedeutet \(W(z) = \dfrac{V_0 + V_1 z + V_2 z^2 + \cdots + V_p z^p}{U_0 + U_1 z + U_2 z^2 + \cdots + U_p z^p}\) (\(U_p\), \(V_p \neq 0\)) eine rationale Funktion von \(z\), die längs des Einheitskreises reell ist, so bildet Verf. das in positivem Sinn längs des Randes eines, alle Pole der Anzahl \(q \leqq p\) von \(W(z)\) einschließenden Kreisringes \(r \leqq |z| \leqq R\) genommene Integral \[ F_n = \frac{1}{2\pi} \int W(z) X(z) Y\left(\frac1z\right) \frac{dz}{z}; \] dabei sind \(X(z) = X_0 + X_1 z + X_2 z^2 + \cdots + X_{n-1} z^{n-1}\) und \(Y(z) = Y_0 + Y_1 z + Y_2 z^2 + \cdots + Y_{n-1} z^{n-1}\) Polynome in \(z\) mit unbestimmten Koeffizienten \(X_i\), \(Y_i\). In \(F_n\) hat man eine Hermitesche Form der \(n\) Variablenpaare \(X_i\), \(Y_i\) vor sich, die folgende Eigenschaften besitzt: Ihr Rang ist gleich der Anzahl \(q\) der Pole von \(W(z)\), und ihre Signatur ist gleich dem Cauchyschen Index von \(W(z)\) längs des Einheitskreises. Diese Untersuchungen werden zur Behandlung des I. Schur-A. Cohnschen Problems (A. Cohn, Math. Zeitschr. 14, 110; F. d. M. 48, 83 (JFM 48.0083.*), 1921-22) benutzt, die Anzahl der Wurzeln einer Gleichung im Innern und auf dem Rande des Einheitskreises zu finden. Entsprechende Betrachtungen lassen sich für längs der reellen Achse reelle, rationale Funktionen \(W(z)\) durchführen und ergeben durch Spezialisierung von \(W(z)\) die Resultate von A. Hurwitz (Math. Ann. 46, 273) über die Anzahl der Gleichungswurzeln oberhalb und auf der reellen Achse.