On algebraically solvable equations (Q1459948)

Der bekannte Kroneckersche Satz über die Realität der Wurzeln reeller algebraisch auflösbarer Gleichungen vom Primzahlgrad wird folgendermaßen verallgemeinert: Unter einer \(A\)-Gleichung sei eine irreduzible algebraisch auflösbare Gleichung mit reellen Koeffizienten vom Grade \(p_1 p_2 \cdots p_\nu\) verstanden, wobei \(p_1, p_2, \ldots, p_\nu\) beliebige gleiche oder ungleiche, ausnahmslos ungerade Primzahlen bedeuten. Eine \(A\)-Gleichung mit imaginären Wurzeln hat mindestens \(k - 1\) solche, und eine \(A\)-Gleichung mit mehr als einer reellen Wurzel wird durch mindestens \(k\) reelle Wurzeln befriedigt; dabei ist \(k\) die kleinste unter den Primzahlen \(p_1, p_2, \ldots, p_\nu\). Dieser Satz ergibt sich aus dem folgenden Doppelsatz, der mit elementar algebraischen Hilfsmitteln abgeleitet wird. Ist eine reelle Wurzel \(\alpha\) einer \(A\)-Gleichung durch eine Kette binomischer Hilfsgleichungen vom Primzahlgrad dargestellt, so besitzt die \(A\)-Gleichung mindestens \(q_1 + q_2 + \cdots + q_\tau - (\tau - 1)\) reelle, bzw. \(q_1\, q_2 \cdots q_\tau - 1\) imaginäre Wurzeln, je nachdem sich in der Kette der Hilfsgleichungen \(\tau\) imaginäre, bzw. \(\tau\) reelle Hilfsgleichungen der Grade \(q_1, q_2, \ldots, q_\tau\) befinden, die eine wirkliche Graderniedrigung der durch \(\alpha\) befriedigten \(A\)-Gleichung herbeiführen; \(q_1, q_2, \ldots, q_\tau\) sind Zahlen aus der Reihe \(p_1, p_2, \ldots, p_\nu\). Hierin liegt auch die Erweiterung des Hölderschen Satzes für \(A\)-Gleichungen mit lauter reellen Wurzeln auf solche mit mehr als einer reellen Wurzel, nämlich: Jede reelle Wurzel einer \(A\)-Gleichung mit mehr als einer reellen Wurzel kann nur durch eine Kette binomischer Hilfsgleichungen vom Primzahlgrade dargestellt werden, die mindestens eine binomische imaginäre Gleichung enthält; im Falle, daß die \(A\)-Gleichung lauter reelle Wurzeln besitzt, steigt die Anzahl der imaginären binomischen Hilfsgleichungen mindestens zu \(\nu\) mit den Gradzahlen \(p_1, p_2, \ldots, p_\nu\) an (vgl. hierzu auch des Verf.s frühere Untersuchungen in Math. Zeitschr. 15, 261; F. d. M. 48, 77, 1921-22).