Über eine Klasse von Mittelbildungen mit Anwendungen auf die Determinantentheorie. (Q1459968)

Die Determinante \(D\) einer positiven Hermiteschen Form \(H = \sum\limits_{1}^{n} h_{k\lambda}u_{k}\bar{u}_{\lambda}\) mit den charakteristischen Wurzeln \(\omega_{\nu}\) genügt bekanntlich der Hadamardschen Ungleichung: \[ D = \omega_{1} \ldots \omega_{n} \leqq h_{11} \ldots h_{nn}; \] das Gleichheitszeichen gilt hier nur für Diagonalformen (mit \(h_{k\lambda} = 0\) für \(k \neq \lambda\)). Es besteht nun die weitgehende Verallgemeinerung jener Ungleichung: \[ f(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}) \leqq f(h_{11}, \ldots, h_{nn}), \] sobald \(f\) eine beliebige ``eigentlich konkave'' Funktion ihrer positiv gedachten Argumente ist. Hierbei heißt \(f(x_1, \ldots, x_n)\) konkav, wenn für jede ``Mittelbildung'' \[ X_k = \sum_{\lambda=1}^n a_{k\lambda} x_{\lambda}, \;k = 1, \ldots, n, \;a_{k\lambda} \geqq 0, \;\sum_{\lambda=1}^n a_{k\lambda} =\sum_{\lambda=1}^n a_{\lambda k} \tag{1} \] die Ungleichung besteht: \[ f(x_1, \ldots, x_n) \leqq f(X_1, \ldots, X_n), \tag{2} \] und eigentlich konkav, wenn in (2) das Gleichheitszeichen nur gilt, wenn die \(X_{\nu}\) eine Permutation der \(x_{\nu}\) darstellen. Eine konkave Funktion ist übrigens notwendig in ihren Argumenten symmetrisch; dies rührt natürlich daher, daß jede Permutation der \(x_{\nu}\) ebenso wie ihre Inversion ebenfalls als Mittelbildungen aufgefaßt werden können. Bei einer konkaven Funktion \(f=f(x_1, \ldots, x_n)\) mit stetigen partiellen Ableitungen \(f_k = \frac{\partial f}{\partial x_k}\) gilt stets: \[ (x_1-x_2)(f_1-f_2) \leqq 0; \tag{3} \] ist umgekehrt (3) für eine symmetrische Funktion \(f\) erfüllt, und hat man noch, bei stetigen zweiten Ableitungen \(f_{k\lambda}\), an jeder Stelle mit \(f_1-f_2 = 0\) zugleich \[ f_{11} - 2f_{12} + f_{22}<0, \tag{4} \] so ist \(f\) eine eigentlich konkave Funktion. Auf Grund dieses Kriteriums findet man so u. a., daß die elementaren symmetrischen Funktionen \(c_k\) bei positiven \(x_1, \ldots, x_n\) für \(2 \leqq k \leqq n\) eigentlich konkave Funktionen darstellen; das gleiche gilt für \(c_{\nu +1} \sqrt{c_{\nu}}\), \(0 < \nu < n\). Ist allgemeiner \(\varphi(x)\) für \(x> 0\) zweimal stetig differentiierbar und dabei \[ \varphi''(x) <0, \tag{5} \] so stellt \[ f(x) = \varphi(x_1) + \cdots + \varphi(x_n) \tag{6} \] eine eigentlich konkave Funktion dar. Für die positive Hermitesche Form \(\sum\limits_1^n h_{k\lambda}x_k x_{\lambda}\) mit den charakteristischen Wurzeln \(\omega_{\nu}\) gilt abschließend der Satz, daß jede eigentlich konkave Funktion \(f\) hier die Ungleichung \[ f(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}) \leqq f(h_{11}, \ldots, h_{nn}) \] liefert; wobei das Gleichheitszeichen nur für Diagonalformen gilt. U. a. ist darin der Hadamardsche Determinantensatz mit enthalten, ebenso verschiedene Erweiterungen desselben. Von Interesse ist noch die Ungleichung \[ 0 \leqq \prod_1^n h_{\nu \nu} - \prod_1^n \omega_{\nu} \leqq e^2 \cdot e^{\sum\limits_1^n (h_{\nu \nu}-1)} \cdot \sum_{k<\lambda} |h_{k \nu}|^2, \] die dann auf unendliche Determinanten angewandt wird; zuletzt wird eine Ungleichung für die Koeffizienten \(a_1, \ldots, a_n\) bei Potenzreihen \(\sum a_{\nu}x^{\nu}\) mit positivem Realteil für \(|x|< 1\) gewonnen.