Sur deux formules de Lagrange. (Q1459996)

Es seien \(\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_\varrho\) die Werte einer rationalen Funktion der Wurzeln einer Gleichung \(n\)-ten Grades, \(\psi_1, \psi_2, \ldots, \psi_\varrho\) die entsprechenden Werte einer anderen Funktion, welche den Substitutionen gegenüber, die \(\varphi_i\) ungeändert lassen, unverändert bleibt. Die Lagrangesche Formel \[ \sum_{i=1}^\varrho \psi_i\dfrac{F(\varphi)}{F'(\varphi_i)(\varphi-\varphi_i)} = \sum_{i=1}^\varrho \psi_iv_i = H(\varphi);\quad F(\varphi) = (\varphi-\varphi_1) \cdots (\varphi-\varphi_\varrho) \] liefert eine ganze rationale Funktion \(H(\varphi)\), welche für \(\varphi=\varphi_i\) in \(\psi_i\) übergeht und deren Koeffizienten symmetrische Funktionen der \(n\) Wurzeln sind. Dasselbe gilt allgemeiner von \[ \bar H(\varphi) = \sum_{i=1}^\varrho \psi_i f(v_i), \] wobei \(f(x)\) ein ganzzahliges Polynom mit \(f(0) = 0\), \(f(1) = 1\) bedeutet. Die \(\bar H(\varphi)\) sind jedoch nicht die einzigen Funktionen dieser Art, wie an der Hand des Beispiels der Gleichung dritten Grades gezeigt wird. Ferner wird eine andere Lagrangesche Formel zu einer ähnlichen Aufgabe benutzt.