Invariant theory. (Q1459997)

Der Verf. füllt mit seinem Lehrbuche eine fühlbare Lücke aus; aus naheliegenden Gründen beschränkt er sich auf die algebraische Theorie. Die algebraische Invariantentheorie kontinuierlicher Gruppen spielt neuerdings eine bedeutende Rolle, da sie für den verwickelten Formelapparat der Relativitätstheorie den einzigen verläßlichen Führer abgibt; der beherrschende Begriff des ``Tensors'' fällt ja (s. u.) im wesentlichen mit dem einer ``Form'' zusammen. Der Verf. ist daher gerade auf derartige Anwendungen mit Vorliebe eingegangen. Die projektiven Invarianten der binären und ternären Urformen werden nur knapp behandelt, da sie schon von anderer Seite her oft dargestellt sind. Ausführlicher wird auf die allgemeinen \(n\)-ären Urformen \(F\) eingegangen, zumal solche, die in derartigen Gebieten mehrere Variabelnreihen enthalten. Ein wesentliches Hilfsmittel bietet hierbei die gerade vom Verf. so sehr geförderte Symbolik. Im folgenden müssen wir uns auf eine gedrängte Inhaltsübersicht beschränken, die die wesentlichsten Momente berücksichtigt. Abschnitt I bringt die grundlegenden Begriffe und Prozesse. Dies findet seine Anwendung in Abschnitt II auf binäre und ternäre Urformen. Überschiebungen und Faltungen werden erörtert, nebst den sich anschließenden Übertragungsprinzipien. Die spezielle Behandlung der kubischen und biquadratischen binären Formen ist etwas dürftig. Auf die invariante Auflösung der zugehörigen Gleichungen wird nicht eingegangen, obwohl sie unmittelbar aus der typisch-kanonischen Darstellung der Urformen ableitbar ist. Auch die Verwendung irrationaler Komitanten nach Study u. a. wird beiseite gelassen. Der Abschnitt III ist den quaternären Formen und insbesondere dem Lieblingsthema des Verfassers, den Komplexen und den Komplexsymbolen gewidmet. Es werden die einfältigen und vielfältigen Komplexsymbole mit den zugehörigen Identitäten eingeführt und vornehmlich auf die linearen Komplexe (auch im \(S_n\)) angewendet. Der folgende Abschnitt leitet die beiden (erweiterten) Fundamentalsätze der Symbolik ab, wie sie der Verf. in früheren Arbeiten aufgebaut hat. Auch die allgemeine Theorie der affinen, orthogonalen und Bewegungsinvarianten findet hier ihren Platz und wird durch geeignete geometrische Anwendungen illustriert. In Abschnitt V werden die erforderlichen Reihenentwicklungen eingeführt. Als Hilfsmittel dienen verschiedene invariante Differentialoperationen: die Polaroperationen \(Dxy\) -- an die sich die Eigenschaften der Polaren einer Form von selbst anschließen --, der Cayleysche \(\Omega\) und der Capellische \(H\)-Prozeß. Hieraus erwächst die klassische, zuerst von Gordan aufgestellte und später von Capelli verallgemeinerte ``Reihenentwickelung''. Als Muster dienen das binäre und ternäre Gebiet. Damit sind die Vorbereitungen getroffen für die in Abschnitt VI behandelte Lehre von den ``Endlichkeitssätzen'', ein Hauptstück der ganzen Theorie. Gordan hat zuerst 1869 gezeigt, daß sich die ganzrationalen invarianten Bildungen (Komitanten) einer binären Urform oder mehrerer solcher auf eine endliche Anzahl unter ihnen, ein ``vollständiges System'', zurückführen lassen, aus denen sich dann alle übrigen ganzrational zusammensetzen. Aber der Beweis, an sich eine kombinatorische Musterleistung, war, auch bei allen späteren Vereinfachungen, immer noch so verwickelt, daß keine Aussicht schien, den Satz allgemein auf höhere Gebiete zu übertragen. Da erschien 1891 die klassische Arbeit von Hilbert, in der fast ohne Rechnung, auf Grund neuer, weit über die spezifische Invariantentheorie hinausreichender Begriffe, wie der eines Formensystems und seiner Basis, der Endlichkeitssatz, bei Beschränkung auf die allgemeine projektive Gruppe (und einige andere) der Urvariablen auf das \(n\)-äre Gebiet ausgedehnt wurde. In engem Zusammenhang mit dieser Fragestellung stehen verwandte. Dahin gehört die Reduktion von Urformen mit mehreren Variabelnreihen auf gewisse ``Normalformen'', wie sie Clebsch, Gram, Peano u. a. aufgestellt haben. Ferner die Reduktion von Formen auf solche mit kleineren charakteristischen Anzahlen (Ordnung, Grad, Rang u. a.); dahin gehört z. B. das Hermitesche Reziprozitätsgesetz, nebst seiner Verallgemeinerung durch Hurwitz. Andererseits hat Hilbert die Ausdehnung seiner vollständigen Systeme auf die zwischen Komitanten bestehenden Relationen, die ``Syzygien'', die Relationen zwischen diesen, die Syzygien zweiter Art usf. berücksichtigt. Weiter hat aber Hilbert das Gebiet der ganzrationalen Zusammenhänge erweitert auf dasjenige beliebiger algebraischer Beziehungen. Zu dem Behuf hat er, wie Abschnitt VII lehrt, aus der Zahlentheorie den Begriff eines Zahlen- und Funktionenkörpers entnommen und letzteren auf ein endliches System von Invarianten, die Basis eines Invariantenkörpers übertragen. Für den Fall rationaler Körper gelangt man zu den verschiedenartigen typischen Darstellungen, auf die freilich nur kurz eingegangen wird. Dem zweiten Hauptstück der Theorie, den Differentialgleichungen (Annihilatoren) der Komitanten ist Abschnitt VIII gewidmet. Auf Grund der Untersuchungen von Aronhold, Kronecker, Deruyts, Forsyth, des Referenten, und endlich von Study, der diese Entwicklungen zu einem gewissen Abschluß gebracht hat, gelingt es, das System der Differentialgleichungen in Reihen, entsprechend verschiedenen projektiven Gruppen, so anzuordnen, daß eine einfache Übersicht ermöglicht wird und zugleich die innere Bedeutung der einzelnen Gleichung hervortritt. Ein nützliches Hilfsmittel bilden hierbei die von Lie eingeführten und systematisch ausgebauten infinitesimalen Transformationen. Eine spezielle Anwendung erstreckt sich auf die Leitglieder von Komitanten, die Semiinvarianten sind, d. h. sich nur gegenüber einer gewissen projektiven Untergruppe invariant verhalten. Auch in diesem Abschnitt wäre ein tieferes Eingehen erwünscht gewesen. Anderen Untergruppen entsprechend werden in den beiden folgenden Abschnitten die affinen und orthogonalen Invarianten verfolgt, wobei die beiden Fundamentalsätze je eine spezifische Modifikation erfahren. Die geometrischen Anwendungen sind knapp gehalten. Damit sind die invarianten theoretischen Grundlagen zu einer ``Vektor- und Tensoralgebra'' gelegt (Abschnitt XI). Bisher waren bei \(n\)-ären Formen die Variabeln als homogene Koordinaten \(x_i, \pi_{ik}, \ldots \) von Punkten, Geraden, \(\ldots\) in einem Gebiete \(n\)-ter Stufe \(S_{n-1}\) gedeutet. Man kann aber auch die Größen \(x_i\) als inhomogene Parallelkoordinaten eines Punktes \((x)\) in einem Gebiete \((n+1)\)-ter Stufe \(S_n\) auffassen; die kontragredienten Größen \(u^\prime_i\) werden dann von selbst die ``Raumkoordinaten'' eines innerhalb \(S_n\) gelegenen \(S_{n-1}\). Eine Form \(F = \sum A_{ikl\ldots rst\ldots} x_iy_kz_l\ldots u_rv_s'w_t'\ldots \) mit mehreren Reihen \(x, y, z, \ldots\) und \(u', v', w', \ldots\) und Koeffizienten \(A\) heißt ein Tensor. Treten in \(F\) nur Punktreihen auf, und zwar \(k\) Reihen, so spricht man von einem kontravarianten Tensor \(k\)-ter Stufe und entsprechend, wenn nur \(l\) Reihen von Raumkoordinaten auftreten, von einem kovarianten Tensor \(l\)-ter Stufe. Hierbei dürfen in \(F\) auch Reihen von Variabeln zusammenfallen, z. B. die \(x\) mit den \(y\). Tensoren erster Stufe heißen Vektoren; solcher gibt es also zwei Arten: kontravariante vom Typus \(\varphi = \sum a_ix_i\) und kovariante vom Typus \(\psi = \sum \alpha_i u_i'\). Aus den Koeffizienten \(A\) eines Tensors \(F\), die seinen wesentlichen Kern bilden, werden affine und orthogonale Invarianten gebildet. Im besonderen können die Tensoren symmetrische und alternierende sein; letztere drängen sich von selbst auf bei Formen mit Linienkoordinaten \(\pi_{ik}\), Ebenenkoordinaten \(\pi_{ikl}\) usf. Die kogredienten Reihen der \(x, y, z, \ldots\) werden den Transformationen der linearen homogenen Gruppe von \(n\) Variabeln unterworfen; die Transformationen der \(u', v', w', \ldots\) sind dann von selbst dadurch festgelegt, daß die Linearform \((u'x) = \sum u_i'x_i\) eine absolute Invariante wird. Als hervorragendes Beispiel untersucht Abschnitt XII die Bewegungsinvarianten, in denen der Verf. so erfolgreich gearbeitet hat. Auf die spezifischen Abänderungen der beiden Fundamentalsätze wird genau eingegangen, bei den Beweisen spielen die Reduktionen gewisser Faktorentypen eine Hauptrolle. Geometrische Deutungen folgen für \(n = 3\) und \(n = 4\); damit wird das Verhalten der Elementargeometrie gegenüber der Hauptgruppe und deren wichtigsten Untergruppen ins Licht gesetzt. Der Referent vermißt hier den von ihm vielfach erörterten Begriff der ``charakteristischen'' Invarianten, die allein ausreichen, um den jeweiligen einzelnen Zweig der Elementargeometrie festzulegen. In den beiden letzten Abschnitten wird eine in neuerer Zeit hervorgetretene Hauptanwendung der Invariantentheorie auf die Differentialformen eingehend behandelt; deren Invarianten sind sowohl für die analytische Theorie der Differentialgleichungen, wie für die geometrische Krümmungstheorie des \(S_n\) und die Relativitätstheorie von wesentlicher Bedeutung. Eine Form \(F\) von der Gestalt \(\sum a_{i_1\ldots i_p}dx_{i_1}\ldots dx_{i_p}\) wo die Koeffizienten \(a\) analytische Funktionen der \(n\) Variabeln \(x_1, \ldots, x_n\) sind, heißt eine Differentialform \(p\)-ten Grades; an Stelle von \(dx_i\), wird auch \(dx^i\) geschrieben. Etwas allgemeiner kann man eine in \(p\) Reihen von Differentialen lineare und homogene Differentialform \(G\) betrachten. Die Formen \(F\) und \(G\) sind wieder kovariante Tensoren \(p\)-ter Stufe: insbesondere ist ein solcher Tensor erster Stufe ein kovarianter Vektor \(L = \sum a_idx^i\); mit den Komponenten \(a_i\). Oft treten als Komponenten eines Vektors die ersten partiellen Ableitungen \(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\) einer Funktion \(f\) auf; ein Tensor in diesen Variabeln heißt kontravariant. Unterwirft man die \(x_i\) beliebigen \((1, 1)\)-deutigen Transformationen, so erfahren die \(dx^i\) lineare homogene Transformationen. So gelangt man zu einer Invariantentheorie der Differentialformen; die Reihen \(dx^i\) entsprechen den früheren Raumkoordinaten \(u_i\), die Reihen \(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\) den Punktkoordinaten \(x_i\). Ein Formenproblem der Tensoren wird auf ein Problem der projektiven (bzw. affinen) Invariantentheorie reduziert. Kovariante Tensoren, wie z. B. \(\sum a_{ik}dx^idx^k\) heißen Differentialkovarianten und kontravariante Tensoren, wie z. B. \(\sum a^{ik}\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\dfrac{\partial f}{\partial x_k}\) Differential-Kontravarianten. Läßt man bei letzteren das Funktionszeichen \(f\) weg, so entsteht ein Differentialparameter (erster Ordnung) \(\sum a^{ik}\dfrac{\partial}{\partial x_i}\dfrac{\partial}{\partial x_k}\). Jede absolute Invariante läßt sich als Resultat einer Elimination der Transformationskoeffizienten \(\dfrac{\partial x_i}{\partial x_k}\) auffassen. Führt man diesen Eliminationsstandpunkt systematisch ein, so erwächst die Tensoranalysis; die Invarianten enthalten neben den Tensorkomponenten auch deren Ableitungen. Auf dieser Grundlage werden zunächst die Linearform \(\sum a_idx^i\) und Systeme solcher mit ihren Invarianten untersucht, sodann die quadratische Differentialform \(\sum g_{ik}dx^idx^k\); die Christoffelschen Dreiindizessymbole werden eingeführt, mit Anwendungen auf kovariante Ableitungen und den Krümmungstensor. Von Interesse ist besonders der Fall, wo der Krümmungstensor verschwindet. Sodann findet der Weylsche Tensor Berücksichtigung; die anschließenden Sätze von Ricci, Bianchi, und Schouten werden abgeleitet. Den Schluß des Abschnitts bildet eine Reihe von Reduktionssätzen. Der letzte, vielleicht interessanteste, aber auch schwierigste Abschnitt ist den Integrationsinvarianten gewidmet, d. h. solchen Invarianten, wie sie nach dem Vorgange von Hurwitz und Lie durch Integrationsprozesse gewonnen werden, und den mit ihnen verbundenen Variationsproblemen. Es werden die Variationsableitungen behandelt, und Mittel zu deren Berechnung angegeben. Nunmehr folgen die schönen Anwendungen auf die Relativitätstheorie; im Mittelpunkt stehen die verallgemeinerten Maxwellschen Gleichungen und die Einsteinschen Gravitationsgleichungen. Zuletzt wird noch der Brouwersche Tensor herangezogen und seine Verwendung zum Beweise eines Satzes von Stokes. Die Darstellung des Verf. kann nur rühmend anerkannt werden; trotz aller Knappheit sind die Definitionen und Beweise scharf herausgearbeitet. So wird das Buch auch bei den Analytikern und Physikern, die bisher der Invariantentheorie fremd gegenüberstanden, manche Leser und Freunde gewinnen. Wenn der Referent noch einen Wunsch äußern dürfte, so wäre es der, daß sich der Verf. entschließen möchte, einen zweiten Band folgen zu lassen, der den Anwendungen der Invariantentheorie auf die algebraische Geometrie, sowie die Funktionentheorie gerecht würde. Wenn auch ein großer Teil dieser Untersuchungen nicht mehr als modern gilt, sondern nur noch als klassisch bezeichnet werden kann, so hat doch gerade ein Lehrbuch die Aufgabe, auch für diese Seiten des Gegenstandes zu interessieren und insbesondere so das Studium der Geometrie zu beleben. Da wären zu erwähnen die projektive Theorie der ebenen \(c_3\), und gewisser \(c_4\), und überhaupt automorpher Formen und geometrischer Gebilde, ferner die typischen Normaldarstellungen der Gleichungen fünften Grades. Weiter die schönen und tiefeingreifenden, durch Klein veranlaßten Anwendungen der Invarianten auf die elliptischen, hyperelliptischen und Abelschen Funktionen, die elliptischen Modulfunktionen und automorphen Funktionen, die linearen Differentialgleichungen u. a. m. Vor allem wäre aber eine übersichtliche Darstellung der projektiven Theorie eines \(S_n\) auf Grund der Normkurven und deren projektiven Gruppen zu begrüßen, wie sie der Referent begründet, Waelsch u. a. weitergeführt und neuerdings Comessatti einer neuen systematischen Bearbeitung unterzogen hat. Endlich wäre noch auf die ausgedehnten geometrischen Anwendungen der Differentialinvarianten von Halphen, Forsyth, u. a. hinzuweisen.