Eliminationstheorie und allgemeine Idealtheorie. (Q1460023)

Die Aufgabe der Arbeit ist die Einordnung der Eliminationstheorie in der Hentzelt-Noetherschen Fassung in die allgemeine Idealtheorie, wobei die Theorie der Nullstellen in neuer Weise abstrakt eingeführt wird. Zunächst handelt es sich um die Norm und Elementarteilerform von Primidealen im Sinne von Hentzelt-Noether. Beide werden normalerweise identisch, und zwar eine Primfunktion, und diese Bedingung ist notwendig und hinreichend für ein Primideal. Nur der Fall, daß der Koeffizientenbereich ein unvollkommener Körper ist, macht eine Ausnahme, auf die hier nicht eingegangen sei. Für ein Primärideal wird die Elementarteilerform und die Norm je eine Potenz einer Primfunktion; auch dieser Satz beruht darauf, daß sich dem Körper der Restklassen ein Nullstellenkörper in derselben Weise abstrakt zuordnen läßt, wie dies Steinitz im Falle einer Veränderlichen getan hat. Dies hat dann zur Folge, daß ein Polynom, das in allen Nullstellen eines Primideals verschwindet, zu diesem gehört. Zur arithmetischen Fassung des Dimensionsbegriffes wird ausgegangen von der bekannten Definition mit Hilfe des algebraischen Ranges (Transzendenzgrades) des Restklassenkörpers. Andererseits läßt sich die Dimension durch Arithmetisierung der Tatsache, daß es auf Flächen Kurven, auf Kurven Punkte gibt, mit Hilfe von einer Kette von Primidealen definieren, die Teiler des gegebenen und überdies jedes ein echter Teiler des vorangehenden sind. Die maximale Länge einer solchen Kette bestimmt die Dimension; die Übereinstimmung beider Definitionen wird gezeigt. Die Zerlegung eines Ideals in größte primäre Komponenten äußert sich bei der Norm bzw. Elementarteilerform in ihrem Zerfallen in entsprechende Potenzen von verschiedenen irreduziblen Faktoren, die selbst die Elementarteilerformen bzw. Normen der einzelnen zugehörigen Primideale werden. Als Multiplizität wird -- um auch den unvollkommenen Körper zu umfassen, aber sonst aus inneren Gründen nicht zweckmäßig -- der Grad des größten primären Faktors der Norm eingeführt, statt des \textit{Exponenten} der Potenz, der sich normalerweise ebenfalls wie jener durch eine gewisse Anzahl linear unabhängiger Restklassen deuten läßt. Das Grundideal \((i-1)\)-ter Stufe im Sinne von Hentzelt-Noether erweist sich als identisch mit der isolierten Komponente der Zerlegung, die eindeutig definiert ist durch alle Primideale von höherer als der \((n - i)\)-ten Dimension. Zum Schluß der interessanten Arbeit, die alte und neue Begriffsbildungen in ihren Verkettungen aufweist, werden absolute Primideale betrachtet, die also auch im algebraisch abgeschlossenen erweiterten Koeffizientenbereich Primideale bleiben. Die Charakterisierung durch die Elementarteilerform führt zu dem Satze, daß ein absolutes Primideal mit ganzen Koeffizienten aus einem endlichen algebraischen Zahlkörper auch mod jedes Primideals aus diesem Körper absolutes Primideal bleibt, mit Ausnahme höchstens von endlich vielen Primidealen des Körpers. Dieser Satz stellt eine Verallgemeinerung eines Satzes von Ostrowski dar.