Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären Abelschen Gruppen. (Q1460040)

In dieser Arbeit werden die Abelschen Gruppen mit abzählbar unendlich vielen Elementen, deren Ordnungen Potenzen der Primzahl \(p\) sind, behandelt. Falls jedes System von endlich vielen Elementen in einer zyklischen Untergruppe enthalten ist, so heißt die Gruppe vom Range 1. Die Gesamtheit der rationalen Zahlen, deren Nenner eine Potenz von \(p\) ist, bilden, nach der Addition (mod 1) betrachtet, ein bemerkenswertes Beispiel einer solchen Gruppe. Ähnlich werden die Gruppen von höherem Range definiert. Unter den Untergruppen gibt es besonders wichtige, die Servanzuntergruppen, welche bereits in der Theorie der endlichen Gruppen eine Rolle spielen. Sie sind durch die Eigenschaft charakterisiert, daß jedes Element der Untergruppe, welches \(p\)-te Potenz eines Elementes der ganzen Gruppe ist, schon in der Untergruppe selber \(p\)-te Potenz ist. Nun gilt der Satz: Jede primäre Gruppe enthält eine Servanzuntergruppe vom Range 1. Diese Servanzuntergruppe ist unter gewissen Bedingungen ein direkter Faktor der ganzen Gruppe. Ist die Gruppe von endlichem Range \(r\), so ist sie direktes Produkt von \(r\) Gruppen vom Range 1. Zum Schluß wird ein Beispiel einer Gruppe von unendlichem Rang angegeben, welche nicht direktes Produkt von Gruppen des Ranges 1 ist. Hier brauchen die Servanzuntergruppen auch nicht direkte Faktoren zu sein.