A new simple theory of hypercomplex integers. (Q1460051)

Es handelt sich um die Frage, welche Unterringe eines endlichen nichtkommutativen Systems hyperkomplexer Größen -- mit Koeffizienten aus einem Körper -- als ``Ringe aus ganzen Größen'' zu bezeichnen seien derart, daß hier einfache arithmetische Zerlegungsgesetze gelten. Es wird gezeigt, daß die Definitionen von Hurwitz und Du Pasquier im allgemeinen Fall versagen, weil es keine ``Maximalsysteme'' in deren Sinn und damit keine ganzen Größen zu geben braucht. Statt dessen werden die folgenden Axiome zugrunde gelegt: Eine Größe heißt ganz, wenn die Koeffizienten ihrer Ranggleichung ganze rationale Zahlen sind. Der ``Ring der ganzen Größen'' hat die Eigenschaft, nur ganze Größen zu enthalten und Haupteinheit und maximal zu sein; d. h. es gibt keinen umfassenderen Ring mit diesen Eigenschaften im System. -- Man kann sich auf die Arithmetik der direkt unzerlegbaren Ringe beschränken; es werden einige einfache Beispiele gegeben, wo eindeutige Zerlegbarkeit der Elemente gilt, während im allgemeinen Fall die Idealtheorie heranzuziehen ist.