Notes supplémentaires sur les équations de Lagrange. (Q1460071)

Es wird behauptet (F. d. M. 27, 165 (JFM 27.0165.*), 1896, 32, 197, 1901), daß sämtliche Lösungen der Gleichung \(u^2 - av^2 = (-l)^\delta\omega\) (vom Verf. als die Lagrangesche Gleichung bezeichnet) eine Folge bilden, deren Elemente mittels der Rekursionsformeln \[ u_n = u_1A_{n-1} + av_1B_{n-1}, \quad v_n = u_1B_{n-1} + v_1A_{n-1} \] gebildet werden, wo \((A_\mu, B_\mu)\) die allgemeine Lösung der Fermatschen Gleichung \(x^2 - ay^2 = \pm 1\) bezeichnet. Verf. weist nach, daß diese Behauptung nur für \(\omega = 2\) richtig sein kann. Multipliziert man nämlich die beiden Gleichungen \(u_p^2 - av_p^2 = (-1)^\delta\omega\), \(A_n^2 - aB^2_n = (-1)^\varepsilon\), so ergibt sich \[ (u_pA_n\pm av_pB_n)^2 - a(u_pB_n\pm v_pA_n)^2 = (-1)^{\delta+\varepsilon}\omega, \] und das positive Zeichen linker Hand führt unmittelbar auf die erwähnten Rekursionsformeln. Für \(\omega = 2\) gilt dasselbe für das negative Zeichen. Ist aber \(\omega > 2\) und \(n\geqq p\), so liefert die obige Formel eine neue Folge von Lösungen, unter denen die erste \((u_1^\prime, v_1^\prime)\) durch die Formeln \[ u_1^\prime = |u_1A_1 - av_1B_1|, \quad v_1^\prime = |u_1B_1 - v_1A_1| \] zu bestimmen ist; Verf. nennt diese beiden Folgen zugeordnet (suites coordonnées). Im speziellen Falle \(a=\alpha^2 + 1\) wird nun weiter behauptet, daß die zwei zugeordneten Folgen sämtliche Lösungen der Lagrangeschen Gleichung enthalten (Dickson, History of theory of numbers; Washington 1920, 2, 387). Verf. weist nach, daß diese Behauptung im allgemeinen auch unrichtig ist. Von den beiden Gleichungen \(u^2 - av^2 = (-1)^\delta\omega\), \(u_1^2 - av_1^2 = (-1)^\varepsilon\omega_1\) ausgehend, erhält man durch Multiplikation \[ (uv_1\pm avv_1)^2 - a (uv_1\pm u_1v)^2 = (1)^{\delta+\varepsilon}\omega\omega_1. \] Sind nun \(\omega\) und \(\omega_1\) relativ prim, und bezeichnen \((u, v)\) und \((u_1^\prime, v_1^\prime)\) Elemente zweier zugeordneten Folgen jeder der ursprünglichen Gleichungen, so gibt diese Multiplikationsformel zwei Paare zugeordneter Folgen der neuen Gleichung, so daß zwei dieser Folgen dreimal, die beiden anderen nur einmal bei dieser Multiplikation hervorgehen. Aus diesem Satz ergibt sich unmittelbar, daß im Falle, wo \(\omega\) \(n\) verschiedene Primfaktoren enthält, sämtliche Lösungen der Gleichung \(u^2 - av^2 = (-1)^\delta\omega\) höchstens \(2^n\) verschiedene Folgen bilden können. Die Lösungen der Gleichung \(u^2 - 61v^2 = \pm 780\) bilden z. B. 16 Folgen, diejenigen der Gleichung \(u^2 - 37v^2 = \pm 924\) dagegen nur 6. Die allgemeine Bestimmung der Anzahl dieser Folgen ist offenbar eine recht schwierige Aufgabe, weil diese Anzahl nicht nur von der Anzahl von Primfaktoren von \(\omega\), sondern auch von gewissen Eigenschaften dieser Primfaktoren abhängt. Weiter gibt Verf. viele speziellere Sätze und Formeln, die für die Herstellung einer Tafel der kleinsten Lösungen der Lagrangeschen Gleichungen unentbehrlich sind.