Über die Einheiten in reinen kubischen Zahlkörpern. (Q1460110)

Für die diophantische Gleichung \(x^3+Dy^3=1\), wo \(D\) eine von 0 verschiedene ganze rationale Zahl bedeutet, wird bewiesen, daß sie höchstens eine Lösung in ganzen Zahlen \(x\) und \(y\neq 0\) besitzt. Dies stellt eine Verschärfung des Thueschen Satzes über allgemeinere diophantische Gleichungen für diese spezielle Gleichung dar und wird einfacher als der Satz von Thue bewiesen. Falls \(D\) kein Kubus ist, so wird durch \(\root 3\of D\) ein kubischer Körper erzeugt; und nach Dirichlet haben alle Einheiten dieses Körpers die Form \(\pm\xi^n\), wo \(\xi\) die Grundeinheit bedeutet und \(n\) alle ganzen rationalen Zahlen durchläuft. Nun wird durch Betrachtung von Kongruenzen direkt bewiesen, daß für \(n\neq 0\) die Zahl \(\xi^n\) höchstens einmal die Form \(x+y\root 3\of D\) besitzt. Das Resultat des Verf. wurde bereits 1916 von B. Delaunay in den Comptes Rendus ohne Beweis angegeben, und zwar mit der Verschärfung, daß eine Lösung von \(x+y\root 3\of D=\pm\xi^n\) (\(n\neq 0\)) eine Fundamentaleinheit des Ringes mit der Basis 1, \(\root 3\of D\), \(\root 3\of{D^2}\) ist; hieraus folgt eine Abschätzung für die Größe der etwaigen einzigen Lösung. Delaunay hat 1915 einen Beweis bei der Mathematischen Vereinigung in Charkow veröffentlicht. Dem Referenten ist der Beweis jedoch unbekannt.