Über die Normenreste eines relativ-zyklischen Körpers vom Primzahlgrad \(l\) nach einem Primteiler \({\mathfrak l}\) von \(l\). (Q1460116)

Es werden die Resultate einer vorangehenden Arbeit von \textit{K. Hensel} [Math. Ann. 85, 1--10 (1922; JFM 48.0174.01)] auf den Fall eines Primteilers \(\mathfrak l\) des bei der Normenrestbildung vorliegenden Relativgrades \(\mathfrak l\) verallgemeinert, d. h. also folgende Fragestellung gelöst: Ist \(k\) ein algebraischer Zahlkörper, der die \(l\)-ten Einheitswurzeln enthält (\(l\) beliebige Primzahl), \(\mathfrak l\) ein Primteiler von \(l\) in \(k\) und \(\alpha\) eine Zahl aus dem zugehörigen perfekten Erweiterungskörper \(k(\mathfrak l)\), die keine \(l\)-te Potenz in \(k(\mathfrak l)\) ist, so soll entschieden werden, welche Zahlen \(\beta\) aus \(k(\mathfrak l)\) Relativnorm einer Zahl des relativ-zyklischen Körpers \(k(\mathfrak l, \root l\of\alpha)\) vom Grade \(l\) über \(k(\mathfrak l)\) sind. Zur Behandlung dieses Problems werden die Darstellungen von \(\alpha\) und \(\beta\) durch ein Fundamentalsystem für die multiplikative Darstellung in \(k(\mathfrak l)\) (vgl. \textit{K. Hensel} [J. Reine Angew. Math. 146, 189--215 (1916; JFM 46.0251.01)] herangezogen. Es ergibt sich folgendes Resultat: Zu jedem \(\alpha\) läßt sich ein besonderes, nach steigenden Graden seiner Einseinheiten geordnetes Fundamentalsystem \(\lambda, \eta_1, \ldots, \eta_{\mu}, \eta_{\alpha}\) so wählen, daß ein \[ \beta=\lambda^y\eta_1^{y_1}\cdots\eta_{\mu}^{y_{\mu}} \eta_{\alpha}^{y_{\alpha}}\beta_0^l\qquad (\mathfrak l) \] dann und nur dann Relativnorm aus \(k(\mathfrak l, \root l\of{\alpha})\) ist, wenn in dieser Darstellung von \(\beta\) der Exponent eines bestimmten (\textit{kritischen}) Basiselements \(\not\equiv 0 \bmod l\) ist. Dieses kritische Basiselement ist \(\begin{matrix} \text{a}) &\hfill \eta_{\alpha}, & \text{wenn} & \alpha = & \lambda^x\eta_1^{x_1}\cdots\eta_{\mu}^{x_{\mu}} \eta_{\alpha}^{x_{\alpha}}\alpha_0^l & (\mathfrak l) & \text{mit} & \hfill x\not\equiv 0\text{ mod}.\;l, \\ \text{b}) &\hfill \lambda, &,\!, & \alpha = & \hfill \eta_{\alpha}^{x_{\alpha}}\alpha_0^l & (\mathfrak l) & ,\!, & x_{\alpha}\not\equiv 0\text{ mod}.\;l, \\ \text{c}) & \left.\begin{cases} \, \text{ein}\;\eta_{\chi'}\,\text{mit} \\ 1\leqq \varkappa' \leqq\mu \end{cases}\right\}, & ,\!, & \alpha = & \hfill \eta_{\chi}^{x_{\chi}}\cdots\eta_{\mu}^{x_{\mu}} \eta_{\alpha}^{x_{\alpha}}\alpha_0^l & (\mathfrak l) &,\!, & x_{\chi}\not\equiv 0\text{ mod}.\;l. \\ \end{matrix} \)\newline Im letzteren Falle läßt sich ebenfalls eine genaue Bestimmung des Grades und des Hauptgliedes des kritischen Basiselementes \(\eta_{\chi'}\) durch Grad und Hauptglied von \(\alpha\) (d.h. von \(\eta_{\chi}\)) angeben.