Über ein neues Normenrestsymbol und seine Anwendung auf die Theorie der Normenreste in allgemeinen algebraischen Körpern. (Q1460117)

In den Hilbert-Furtwänglerschen auf das allgemeine Reziprozitätsgesetz zielenden Arbeiten wird der Begriff Normenrest insofern nur ganz speziell definiert; als es sich dabei um Relativnormen aus einem relativ-zyklischen Oberkörper vom Primzahlgrade handelt. Verf. zeigt, wie dieser Begriff auf die Relativnormbildung aus einem beliebigen Relativkörper \(K\) über einem algebraischen Zahlkörper \(k\) verallgemeinert werden kann: Ist \(\mathfrak p\) ein Primteiler in \(k\), \(\mathfrak B\) ein Primteiler von \(\mathfrak p\) in \(K\) und sind \(k(\mathfrak p)\) und \(K(\mathfrak B)\) die zugehörigen perfekten Erweiterungskörper von \(k\) und \(K\), so nennt er eine Zahl \(\gamma\) aus \(k(\mathfrak p)\) Normenrest zu \(\mathfrak B\), wenn \(\gamma\) der Relativnorm einer Zahl aus \(K(\mathfrak B)\) \textit{für den Bereich von} \(\mathfrak B\) gleich ist. Es liegt hier insofern eine Verfeinerung und auch wesentliche Modifikation der Hilbertschen Normenrest-Definition vor, als neben der Betrachtung ganz allgemeiner Relativkörper \(K\) die Normenresteigenschaft von \(\gamma\) als eine auf \(\mathfrak B\) (und nicht wie bei Hilbert auf \(\mathfrak p\)) bezügliche Eigenschaft eingeführt wird. Enthält \(\mathfrak p\) nur den einzigen Primteiler \(\mathfrak B\), so kommt das auf dasselbe hinaus, andernfalls aber ist das fragliche Verhalten von \(\gamma\) für die einzelnen Primteiler \(\mathfrak B_i\) von \(\mathfrak p\) gänzlich unabhängig voneinander, und die Definition des Verf. betrifft die einzelnen unabhängigen Komponenten, die sich (nach Art einer Produktbildung) zu dem Hilbertschen Begriff zusammensetzen. Es ergibt sich nämlich leicht, daß \(\gamma\) dann und nur dann Normenrest zu \(\mathfrak p\) (also Normenrest im Hilbertschen Sinne) ist, wenn eine Zerlegung \(\gamma=\displaystyle\prod_i\gamma_i\) existiert, so daß \(\gamma_i\) Normenrest zu \(\mathfrak B_i\) im hier eingeführten Sinne ist. Der Grund, weswegen man in der Hilbert-Furtwänglerschen Theorie dennoch mit dem Hilbertschen Begriff auskommt, liegt darin, daß für einen relativ-Galoisschen Körper \(K\), wie er dort ja ausschließlich zu betrachten ist, ebenfalls der genannte Unterschied nicht auftritt, d.h. \textit{Normenrest} zu \(\mathfrak p\) dasselbe wie \textit{Normenrest} zu \(\mathfrak B\) besagt. Nur für nicht relativ-Galoissche Relativkörper \(K\) macht sich dieser Unterschied wirklich geltend und erfordert die Zugrundelegung der Definition des Verf. Verf. entwickelt sodann eine Reihe von Regeln, die es erlauben, über den Normenrestcharakter von \(\gamma\) in fast allen Fällen (d. h. außer für gewisse Primteiler \(\mathfrak B\) der Relativdifferente von \(K(\mathfrak B)\) bezüglich \(k(\mathfrak p)\)) zu entscheiden, und wendet zum Schluß diese Regeln auch zur Entscheidung über den Normenrestcharakter von \(\gamma\) im Hilbertschen Sinne an.