Contributions to the analytic theory of numbers. (Q1460122)

In Verallgemeinerung des klassischen Parsevalschen Satzes gilt für ausgedehnte Typen von \[ f(x)\sim \sum _1^\infty (a_n\cos \,\lambda _nx + b_n\sin \,\lambda _nx), \quad 0< \lambda _1 < \lambda _2 < \ldots, \;\lambda _n \to \infty \tag{1} \] die Beziehung \[ \lim _{x\to \infty } \frac{1}{2x}\int _{-x}^x f^2(t)\,dt = \frac {1}{2} \sum _1^\infty (a_n^2 + b_n^2), \tag{2} \] was z. B. im Falle der absoluten Konvergenz der rechten Seite von (1), und wenn \(=\) statt nur \(\sim \) geschrieben werden darf, mit einem bekannten Satze aus der Theorie der allgemeinen Dirichletschen Reihen identisch ist. Indessen versagen hier bei der Anwendung auf wichtige Probleme der analytischen Zahlentheorie, in denen man vielfach auf (1) geführt wird, infolge der i. a. nur bedingten Konvergenz oder durch noch größere Erschwerungen (bloße Summabilität u. ä. m.) die bekannten allgemeinen Kriterien in einem solchen Ausmaße, daß dann kaum mehr als die Entscheidung von Fall zu Fall übrigbleibt. Verf. behandelt daher auch nur bestimmte Spezialfälle, in denen die fraglichen Mittelbildungen (2) dann freilich ein erhöhtes zahlentheoretisches Interesse-bieten. 1. Man setze die letzte Riemannsche Hypothese über die Lage der komplexen Nullstellen \(\varrho \) von \(\zeta (s)\) als richtig voraus und betrachte die von Mangoldtsche Formel (mit den üblichen Bezeichnungen): \[ \psi(x)=x-2\sqrt x\,\mathfrak R \sum_{\gamma >0}\frac{x^{i\gamma}}{\frac{1}{2}+i\gamma}+O(\log x); \] dann kann Verf. die folgenden Mittelbildungen abschätzen: \[ \lim_{x\to\infty}\frac{1}{\log x} \int_{2}^x\left(\frac{\psi(t)-t}{t}\right)^2\,dt = \sum_\varrho|\varrho|^{-2};\quad \frac{1}{x}\int_{2}^x|\psi(t)-t|\,dt=O(\sqrt x),\tag{3} \] während z. B. Littlewood bewiesen hat \[ |\psi(t)-t|\neq O(\sqrt x). \] 2. Es sei \(\sigma _{\alpha }(n)\) die Summe der \(\alpha \)-ten Potenzen aller Teiler von \(n\), d. h. für \(\mathfrak R(s)> 1\), \(\mathfrak R(s-\alpha )> 1\): \[ \sum _1^\infty \sigma _{\alpha }(n)n^{-s}=\zeta (s) \zeta (s-\alpha ), \] und es sei \(R_{\alpha }(x)\) der ``nichttriviale'' Rest für \[ S_{\alpha }(x) = \sum _1^x \sigma _{\alpha }(n); \] man hat \[ \sum _1^\infty \sigma _{\alpha }(n)n^{\frac {-1-\alpha }{2}}e^{-s\sqrt n} = \frac {1}{2\pi i} \int _{3-i\infty }^{3+i\infty } \Gamma (z)s^{-z} \zeta \left (\frac {1+\alpha +z}{2}\right)\zeta \left (\frac {1-\alpha +z}{2}\right)\,dz, \] woraus das Hauptglied von \(R_{\alpha }(x)\) unschwer zu gewinnen ist. Die Mittelbildungen ergeben für \(|\alpha |<\frac {1}{2}\): \[ \int _1^x R_{\alpha }(t)^2\,dt \sim C_{\alpha }x^{\frac {3}{2} +\alpha}; \quad \frac{1}{x}\int_1^x |R_{\alpha}(t)|\,dt=O(x^{\frac {\alpha }{2}+\frac {1}{4}}), \tag{4} \] während wieder \[ R_{\alpha }(x) \neq O(x^{\frac {\alpha }{2}+\frac {1}{4}}), \] sicher ist; für \(-1 \leqq \alpha \leqq -\frac {1}{2}\) hat man dagegen: \[ \frac {1}{x} \int _1^x |R_{\alpha }(t)|\,dt = O(\log ^{1+\frac {\alpha }{2}}x), \tag{\(-\atop4\)} \] und für \(\frac {1}{2} \leq \alpha \leqq 1\): \[ \frac {1}{x} \int _1^x |R_{\alpha }(t)|\,dt = O\,(x^{\alpha }\log ^{1-\frac {\alpha }{2}}x), \tag{\(+\atop4\)} \] was z. B. für \(\alpha =\pm 1\) im Mittel wieder mehr besagt, als die entsprechenden Resultate der Literatur (Wigert) alsdann für \(R_{\alpha }(x)\) selbst sichern. 3. Es sei \(K\) ein quadratischer Korper mit der Diskriminante \(\varDelta \) und \(H(x)\) die Anzahl der Ideale in demselben mit der Norm \(\leqq x\); bekanntlich ist dann stets \[ H(x) = kx + R(x), \] und für das Restglied \(R(x)\) findet Verf. wieder \[ \int _1^x R(x)^2\,dx \sim C_Kx^{\frac {3}{2}}; \quad \frac {1}{x} \int _1^x |R(x)|\,dx = O\,(x^{\frac {1}{4}}). \tag{5} \] Natürlich ist das zweite Ergebnis in (3) -- (5) jeweilig die unmittelbare Folge aus dem ersten.