Über die Kroneckersche Grenzformel für reelle, quadratische Körper. (Q1460132)

Für die einfachsten Zetafunktionen des reellen quadratischen Körpers ist die Bestimmung des konstanten Gliedes in der Entwicklung nach Potenzen von \(s-1\) (Kroneckersche Grenzformel) von Hecke auf die Bestimmung eines Integrals von folgendem Typus zurückgeführt worden: Es sei \(\varepsilon \) eine total positive Einheit des quadratischen Körpers der Diskriminante \(\varDelta \), ferner \(\alpha_1\), \(\alpha_2\) eine Basis eines Ideals in diesem Körper; man setze \[ \omega=\omega(v)=-\frac{\alpha_2e^{v}-i\alpha _2'}{\alpha _1e^{v}-i\alpha _1'}. \] Dann handelt es sich um die Bestimmung des reellen Teils des Integralwertes \[ \int_{v_0-\log\varepsilon}^{v_0+\log \varepsilon} \log\eta(\omega )\,dv\qquad (v_0 \text{ eine reele Zahl),} \] wo \(\eta (\omega )\) die Dedekindsche Modulfunktion ist. Verf. gibt eine weitere Umformung dieses Integrals in einen elementareren Ausdruck. Da obiges Integral von \(v_0\) im wesentlichen unabhängig ist, läßt man zur Berechnung \(v_0\) gegen einen solchen Wert konvergieren, daß \(\omega (v_0)\) dabei gegen \(i\;\infty \)\ \,strebt, und unter Benutzung der Reihendarstellung von \(\eta (\omega )\) führt Verf. das Integral auf folgende Reihe zurück: \[ \sum _{k=1}^{\infty }\Bigl(\Psi \Bigl(\frac {k\varepsilon -r_k}{n}\Bigr) \Psi \Bigl(\frac {k\varepsilon ' -r_k}{n}\Bigr) - \log \varepsilon ^2 + a_k^*\Bigr). \] Dabei ist \(\Psi(x)\) die Gaußsche Funktion \[ \Psi (x)=\frac {\Gamma '(x+1)}{\Gamma (x+1)}, \] \(r_k\) ist der kleinste positive Rest von \(k\) \(a\mod n\), wobei \[ a=\frac {\varepsilon \alpha _1\alpha _2'-\varepsilon ' \alpha _2\alpha _1'} {\alpha _1\alpha _2'-\alpha _2\alpha _1'},\quad n=\left|\frac{\alpha_1\alpha_1'(\varepsilon-\varepsilon')} {\sqrt\varDelta}\right| \] und \[ a_k^*=\frac{n}{k}\frac{\varepsilon-\varepsilon'}{2},\quad\text{wenn } k\equiv 0\pmod n;\quad\text{sonst } a_k^*=0. \] Die Reihe läßt sich weiter noch auf ein einfacheres Integral reduzieren, nämlich auf \(\int\limits_0^1 F(t)\,dt\), wo \[ F(t)=\sum_{k=1}^{n-1}\frac {1}{t-\mathfrak D^{-k}} \log\frac{1-\mathfrak D^{ak}t^{\varepsilon }}{1-\mathfrak D^{ak}t^{\varepsilon'}} \left(\mathfrak D=e^{\frac{2\pi i}{n}}\right). \] Im Teil II leitet Verf. das gleiche Resultat durch Benutzung einer Integraldarstellung von \(\log \eta (\omega )\) an Stelle der Reihenentwicklung her. -So elegant Methode und Resultat sind, so ist freilich auch durch diese neue Gestaltung der Kroneckerschen Grenzformel immer noch kein Einblick in die Bedeutung der einzelnen Glieder gewonnen.