On rational approximations to cyclical cubic irrationalities. (Q1460148)

Eine zyklische kubische Irrationalität \(x\) entsteht aus \[ ax^3+bx^2+cx+d=0 \] mit rationalen \(a,\dots,d\), wenn die Diskriminante \(\Delta\) dieser Gleichung selbst das Quadrat einer rationalen Zahl ist. Die drei Wurzeln mögen \(x_1,x_2,x_3\) heißen, und man setze \[ \frac{x_1-x_3}{x_2-x_3}=z,\;\frac{z^3-3z+1}{3(z^2-z)}=k\;\text{(rational);} \] man findet so durch die Lagrangesche Entwicklung: \[ z-k=\frac{1-2k}3\sum_{n=0}^\infty\frac{(3n)!}{n!(2n+1)!} \left\{\frac{(1-2k)^2}{27(1-k+k^2)}\right\}^n. \] Nun ist hier der Klammerausdruck eine angebbare rationale Funktion von \(z\), die danach bei reellem \(z\) für die Summe der rechten Seite einen von den drei Werten \(\dfrac{3(z^2-z+1)}{(z+1)(2-z)}\), \(\dfrac{3(z^2-z+1)}{(1-2z)(2-z)}\), \(\dfrac{3(z^2-z+1)}{(z+1)(2z-1)}\) annehmen muß; es wird gezeigt, daß dieses verschiedene Verhalten je für die \(z\)-Intervale \(0\ldots1,-\infty\ldots0,1\ldots\infty\) gilt.