Einleitung in die Mengenlehre. Eine elementare Einführung in das Reich des Unendlichgroßen. Zweite erweiterte Auflage. (Q1460156)

Die erste Auflage ist im JFM 47.0170.01 angezeigt worden. Aus dem Vorwort zur zweiten Auflage: ``Die freundliche Aufnahme, die das seit Jahresfrist vergriffene Buch beim Publikum und bei der Kritik gefunden hat, veranlaßt mich, die Anlage der Schrift im ganzen unverändert beizubehalten. Nur nach zwei Richtungen hin ist das Buch erheblicher erweitert worden. Zunächst wurde in den \S\S~1-11 die Darstellung in zahlreichen Punkten ausgestaltet, namentlich bei der Einführung grundsätzlich wichtiger Begriffe sowie an Stellen, wo in der ersten Auflage einzelne schwierigere Beweise unterdrückt oder nur skizziert worden waren, die nunmehr eine vollständige Ausführung erhielten. Besonders gilt das für die \S\S~8 und 11. Ferner sind die Beispiele und die historischen Notizen und Literaturverweise wesentlich vermehrt worden, wobei die Person Cantors wohl mit Recht stark hervortreten durfte. Für diese Klasse von Ergänzungen war namentlich die Rücksicht maßgebend, daß mit dem Erscheinen des Buches in den ``Grundlehren der mathematischen Wissenschaften'' ihm auch der Charakter eines mathematischen Lehrbuchs zu geben war, was hoffentlich ohne Verwischung der ursprünglichen Eigenart gelungen ist. Die zweite wesentlichere Ausgestaltung betrifft die Behandlung der prinzipiellen Fragen, die mit der Grundlegung der Mengenlehre zusammenhängen und zum Teil das Grenzgebiet zwischen Mathematik und Philosophie berühren. Der \S~12 der Neuauflage gibt nunmehr nach einer Besprechung der Paradoxien zunächst eine Auseinandersetzung mit zwei charakteristischen philosophischen Standpunkten zum Unendlichen, dann aber einen Überblick über die wichtigsten Versuche, die seit der Erschütterung des Cantorschen Aufbaues in den letzten zwei Jahrzehnten zur Begründung der Mengenlehre (und der Mathematik überhaupt) unternommen worden sind: über die revolutionären Ideen der ``Intuitionisten'' von Kronecker bis Brouwer einerseits, über die mehr oder weniger konservativen Theorien von Russell-Whitehead, Zermelo und J. König andererseits. Eine unter den genannten Begründungsarten, nämlich die von Zermelo gewiesene axiomatische, wird dann in \S~13 in aller Ausführlichkeit entwickelt, wobei die Darstellung zu den letzten Ergebnissen der Forschung heran und teilweise über sie hinaus führt; den naturgemäßen Abschluß bildet die Besprechung der allgemeinen Fragen der Axiomatik, insbesondere auch der an die Wurzeln der Wissenschaft überhaupt rührenden jüngsten Forschungen Hilberts über die Widerspruchslosigkeit der Axiome.'' \textit{Inhaltsverzeichnis.} \S~1. Einleitung. \S~2. Begriff der Menge. Beispiele von Mengen. \S~3. Die Begriffe der Äquivalenz, der Teilmenge, der unendlichen Menge. \S~4. Abzählbare Mengen. \S~5. Das Kontinuum. Begriff der Kardinalzahl oder Mächtigkeit. Die Kardinalzahlen \(\mathfrak a\), \(\mathfrak c\) und \(\mathfrak f\). \S~6. Die Größenordnung der Kardinalzahlen. \S~7. Die Addition und Multiplikation der Kardinalzahlen. \S~8. Die Potenzierung der Kardinalzahlen. \S~9. Geordnete Mengen. Ähnlichkeit und Ordnungstypus. \S~10. Lineare Punktmengen. \S~11. Wohlgeordnete Mengen und Ordnungszahlen. Die Wohlordnung und ihre Bedeutung. \S~12. Einwände gegen die Mengenlehre. Notwendigkeit einer veränderten Grundlegung und Wege hierzu. a) Die Paradoxien der Mengenlehre. b) Einige philosophische Standpunkte zur Mengenlehre. c) Die Intuitionisten, namentlich Brouwer. d) Andere Methoden zur Überwindung der Paradoxien. \S~13. Der axiomatische Aufbau der Mengenlehre. Die axiomatische Methode. a) Die Axiome und ihre Tragweite. b) Unabhängigkeit, Vollständigkeit und Widerspruchslosigkeit des Axiomensystems. \S~14. Schluß. Literatur. Namenverzeichnis. Sachverzeichnis. Das Werk ist außerordentlich durchsichtig und anregend geschrieben und enthält in \S~13 auch eigene wertvolle Beiträge des Verfassers.